Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}滿足a₃=8，a₅+a₇=160，{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
（1）求a_n；
（2）若數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=（-1）ⁿ•n（n∈N₊），求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公比為q，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組解得a₁=2，q=2．所以an=a1•qn-1=2n．
（2）由（1）求出an•bn=n•(-2)n結(jié)合數(shù)列的特點(diǎn)利用錯(cuò)位相減法，可求前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公比為q，由a₃=8，a₅+a₇=160，
解得a₁=2，q=2．所有an=a1•qn-1=2n．…（6分）
（2）∵bn=(-1)n•n，an=2n
∴an•bn=n•(-2)n
∴Tn=1•(-2)+2•(-2)2+3•(-2)3+     …    +n•(-2)n
-2Tn=          1•(-2)2+2•(-2)3+3•(-2)4+…+(n-1)•(-2)n+n•(-2)n+1
相減可得3Tn=(-2)+(-2)2+(-2)3+…+(-2)n-n•(-2)n+1=

(-2)[1-(-2)n]

1-(-2)

-n•(-2)n+1
=

(-2)-(3n+1)•(-2)n+1

3

=-

(3n+1)•(-2)n+1+2

3

∴Tn=-

(3n+1)•(-2)n+1+2

9

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用基本量表示等差數(shù)列及等比 數(shù)列的通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減求數(shù)列的和是數(shù)列求和方法中的重點(diǎn)和難點(diǎn)．