已知函數(shù)數(shù)學(xué)公式
(1)求f(x)在(1,數(shù)學(xué)公式)處的切線方程;
(2)若h(x)=f(x)+ag(x),a>1.
①討論函數(shù)h(x)的單調(diào)性;
②若對于任意x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,均有數(shù)學(xué)公式>-1,求實數(shù)a的取值范圍.

解:(1)∵,∴f(1)=0.
∴f(x)在(1,)處的切線方程為:;
(2)①∵h(x)=f(x)+ag(x)=,(x>0),a>1.
=
1° 當a-1=1,即a=2時,≥0,∴h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
2°當a-1<1時,又a>1,即1<a<2時,
∵函數(shù)h(x)在區(qū)間(a-1,1)上,h(x)<0;在區(qū)間(0,a-1)及(1,+∞)上,h(x)>0.
∴函數(shù)h(x)在區(qū)間(a-1,1)上單調(diào)遞減;在區(qū)間(0,a-1)及(1,+∞)上單調(diào)遞增.
3°當a-1>1,即 a>2時,同理可得h(x)在區(qū)間(1,a-1)上單調(diào)遞減;在區(qū)間(0,1)及(a-1,+∞)上單調(diào)遞增.
②不妨設(shè)0<x1<x2,則,得h(x1)+x1<h(x2)+x2
令M(x)=h(x)+x=
則M(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
于是=≥0在(0,+∞)上恒成立.
即R(x)=x2-(a-1)x+(a-1)≥0在(0,+∞)上恒成立.
∵a>1,∴R(0)=a-1>0,對稱軸
因此必須要求△=(a-1)2-4(a-1)≤0,又a>1,解得1<a≤5.
分析:(1)先對函數(shù)f(x)求導(dǎo),再計算f(1),即為切線的斜率,進而得出切線的方程;
(2)①先在函數(shù)h(x)的定義域內(nèi)對h(x)求導(dǎo),根據(jù)h(x)=0的根的大小關(guān)系,再對a分類討論即可得出函數(shù)的單調(diào)性;
②不妨設(shè)x1<x2,則問題“對于任意x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,均有>-1,”?M(x)=h(x)+x在(0,+∞)上單調(diào)遞增?M(x)≥0,x∈(0,+∞)恒成立.
點評:充分利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及解決函數(shù)的單調(diào)性和正確的進行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.
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