Question

【題目】廣播電臺為了了解某地區(qū)的聽眾對某個戲曲節(jié)目的收聽情況，隨機抽取了100名聽眾進行調(diào)查，下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的聽眾日均收聽該節(jié)目的頻率分布直方圖，將日均收聽該節(jié)目時間不低于40分鐘的聽眾成為“戲迷”

（1）根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表，并判斷“戲迷”與性別是否有關(guān)？

	“戲迷”	非戲迷	總計
男
女	10		55
總計

附：K2= ，

P（K2≥k）	0.05	0.01
k	3.841	6.635

（2）將上述調(diào)查所得到的頻率當(dāng)作概率．現(xiàn)在從該地區(qū)大量的聽眾中，采用隨機抽樣的方法每次抽取1名聽眾，抽取3次，記被抽取的3名聽眾中“戲迷”的人數(shù)為X，若每次抽取的結(jié)果相互獨立，求X的分布列，數(shù)學(xué)期望及方差．

Answer 1

【答案】
（1）解：由頻率分布直方圖可知在抽取的100人中，“戲迷”有（0.02+0.005）×10×100=25人，

“戲迷”有25人，

2×2列聯(lián)表如下：

	“戲迷”	非戲迷	總計
男	15	30	45
女	10	45	55
總計	25	75	100

將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式：

K2= ，

= ≈3.030＜3.841，

故沒有理由認為“戲迷”與性別有關(guān)

（2）解：由題可知抽到“戲迷”的概率為0.25，

由題意可知X～B（3， ），

X	0	1	2	3
P

∴數(shù)學(xué)期望E（X）=np=3× = ，

方差D（X）=np（1﹣p）=3× × =

【解析】（1）由頻率分布直方圖求得“戲迷”有25人，完成2×2列聯(lián)表，根據(jù)2×2列聯(lián)表，代入求臨界值的公式，求出觀測值，利用觀測值同臨界值表進行比較，K2≈3.030＜3.841，故沒有理由認為“戲迷”與性別有關(guān)；（2）由題意可知X～B（3， ），根據(jù)二項分布求得其分布列，數(shù)學(xué)期望及方差．
【考點精析】認真審題，首先需要了解離散型隨機變量及其分布列(在射擊、產(chǎn)品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列)．