Question

已知方程2m²x²+2mx+1-m²=0（m＞1），求證：這個方程有一個正根和一個負根，且正根在（0，1）之間，負根在（-1，0）之間．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：第一步：令函數(shù)f（x）=2m²x²+2mx+1-m²（m＞1）；
第二步：計算f（-1）、f（0）、f（1）；
第三步：根據(jù)零點存在性定理及二次函數(shù)的圖象，判斷零點所在區(qū)間，即可得原方程實根所在區(qū)間．

解答： 證明：令函數(shù)f（x）=2m²x²+2mx+1-m²，
∵m＞1，∴f（x）為一元二次函數(shù)，且
f（-1）=2m²-2m+1-m²=（m-1）²＞0，
f（0）=1-m²＜0，
f（1）=2m²+2m+1-m²=（m+1）²＞0，
f（-1）•f（0）＜0，f（0）•f（1）＜0，
由零點存在性定理及二次函數(shù)的圖象知，
方程2m²x²+2mx+1-m²=0（m＞1）有一個正根和一個負根，
且正根在（0，1）之間，負根在（-1，0）之間．

點評：本題較基礎，主要考查了零點存在性定理，關鍵是理解方程的實根、函數(shù)的零點及函數(shù)圖象與x軸交點的關系．