Question

已知函數(shù)，（）

（1）對(duì)于函數(shù)中的任意實(shí)數(shù)x，在上總存在實(shí)數(shù)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍

（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)在區(qū)間內(nèi)變化時(shí)，

（1）求函數(shù)的取值范圍；

（2）若函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的最大值.

 

Answer 1

（1）；（2）（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）分析可知原命題，分別求導(dǎo)令導(dǎo)數(shù)等于0，討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，導(dǎo)數(shù)大于0得增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0得減區(qū)間，再根據(jù)單調(diào)性求最值。（2）（1），先求導(dǎo)得，可看成關(guān)于的一次函數(shù)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719244241482092/SYS201411171924598686309175_DA/SYS201411171924598686309175_DA.009.png">可得，即用導(dǎo)數(shù)討論和的單調(diào)性，用單調(diào)性求其最值。從而可得得范圍。（2）時(shí)函數(shù)有零點(diǎn)，說明存在使。由（1）可知在為單調(diào)遞減函數(shù)，所以函數(shù)，同（1）可得時(shí)的最大值是，比較和的大小得函數(shù)的最大值從可得的最大值。

試題解析：（1）原命題，先求函數(shù)的最小值，令，得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，取得極（最）小值，其最小值為；而函數(shù)的最小值為m,故當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立

（2）（1）：由，可得，把這個(gè)函數(shù)看成是關(guān)于的一次函數(shù)，（1）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719244241482092/SYS201411171924598686309175_DA/SYS201411171924598686309175_DA.009.png">，故的值在區(qū)間上變化，令，，則，在為增函數(shù)，故在最小值為，又令，同樣可求得在的最大值，所以函數(shù)在的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719244241482092/SYS201411171924598686309175_DA/SYS201411171924598686309175_DA.053.png">。

（2）（2）當(dāng)時(shí)，的最大值，故對(duì)任意，在均為單調(diào)遞減函數(shù)，所以函數(shù)

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719244241482092/SYS201411171924598686309175_DA/SYS201411171924598686309175_DA.055.png">，，故的值在區(qū)間上變化，此時(shí)，對(duì)于函數(shù)，存在，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，在的最大值為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719244241482092/SYS201411171924598686309175_DA/SYS201411171924598686309175_DA.063.png">，，所以，故的最大值是，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719244241482092/SYS201411171924598686309175_DA/SYS201411171924598686309175_DA.066.png">，故當(dāng)函數(shù)有零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)m的最大值是.

考點(diǎn)：用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性。