精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
精英家教網如圖,設△OEP的面積為S,已知
OF
• 
FP
=1.
(1)若
1
2
<S<
3
2
,求向量
OF
FP
 的夾角θ的取值范圍;
(2)若S=
3
4
|
OF
|,且|
OF
|≥2,當|
OP
|取最小值時,建立適當的直角坐標系,求以O為中心,F(xiàn)為一個焦點且經過點P的橢圓方程.
分析:(Ⅰ)令
OF
,
FQ
>=θ
,由題設知 |
OF
| |
FQ
| =
1
cosθ
,S=
1
2
tanθ
,∵
1
2
<S<
3
2
,∴1<tanθ<
3
,由此可求出
OF
,
FQ
的范圍..
(Ⅱ)以O為原點,OF所在直線為x軸建立直角坐標系,并令Q(m,n),則F(c,0),由題設知
OF
FQ
=c(m-c)=1
.m=c+
1
c
,Q(c+
1
c
,
3
2
)
.由此知 |
OQ
|
2
 =(c+
1
c
)
2
+
9
4
,由此入手,當 |
OQ
|
取最小值時,能夠求出橢圓的方程.
解答:解:(Ⅰ)令
OF
,
FQ
>=θ

OF
FQ
=1
,∴|
OF
| |
FQ
| cosθ=1
,∴|
OF
| |
FQ
| =
1
cosθ
,
S=
1
2
|
OF
| |
FQ
| sin(π-θ)
=
1
2
|
OF
| |
FQ
| sinθ

S=
1
2
tanθ
,∵
1
2
<S<
3
2
,∴1<tanθ<
3
,
∵θ∈[0,π],∴
π
4
<θ<
π
3


(Ⅱ)以O為原點,OF所在直線為x軸建立直角坐標系,并令Q(m,n),則F(c,0),
S=
1
2
cn
S=
3
4
c
,∴n=
3
2

OF
=(c,0),
FQ
=(m-c,n)

OF
FQ
=c(m-c)=1

m=c+
1
c
,∴Q(c+
1
c
,
3
2
)

|
OQ
|
2
 =(c+
1
c
)
2
+
9
4
,
∵c≥2,
∴當c=2時,|
OQ
|
最小,此時Q(
5
2
,
3
2
),
設橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,
c2=4=a2-b2
(
5
2
)
2
a2
+
(
3
2
)
2
b2
=1
,
∴a2=10,b2=6.
∴所求橢圓為
x2
10
+
y2
6
=1
點評:本題考查圓錐曲線的性質和應用,解題時要認真審題,仔細解答,注意積累解題方法.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源:寧夏銀川一中2010屆高三第四次月考、理科數學試卷 題型:044

如圖,設△OFP的面積為S,已知=1.

(1)若<S<,求向量的夾角的取值范圍;

(2)若S=,且≥2,當取最小值時,建立適當的直角坐標系,求以O為中心,F(xiàn)為一個焦點且經過點P的橢圓方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源:模擬題 題型:解答題

如圖,設△OFP的面積為S,已知=1,
(1)若,求向量的夾角θ的取值范圍;
(2)若S=≥2,當取最小值時,建立適當的直角坐標系,求以O為中心,F(xiàn)為一個焦點且經過點P的橢圓方程。

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源:2011-2012學年云南省曲靖市宣威市飛翔高級中學高三(下)3月月考數學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

如圖,設△OEP的面積為S,已知=1.
(1)若,求向量 的夾角θ的取值范圍;
(2)若S=||,且||≥2,當||取最小值時,建立適當的直角坐標系,求以O為中心,F(xiàn)為一個焦點且經過點P的橢圓方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源:2011年廣東省高考數學第三輪復習精編模擬試卷12(理科)(解析版) 題型:解答題

如圖,設△OEP的面積為S,已知=1.
(1)若,求向量 的夾角θ的取值范圍;
(2)若S=||,且||≥2,當||取最小值時,建立適當的直角坐標系,求以O為中心,F(xiàn)為一個焦點且經過點P的橢圓方程.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案