【題目】設(shè)函數(shù),其中為常數(shù).
(1)當時,求證:有且僅有一個零點;
(2)若函數(shù)在定義域內(nèi)既有極大值,又有極小值,求的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析 (2)
【解析】
(1)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性和極值,結(jié)合極值的大小即可證出有且僅有一個零點;
(2)因為函數(shù)在定義域內(nèi)既有極大值,又有極小值,所以有兩個正根,再利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求出的取值范圍.
(1),,,
解,得,,
列表如下:
1 | 2 | ||||
+ | 0 | ﹣ | 0 | + | |
極大值 | 極小值 |
因為極大值,所以在無零點,從而在無零點,
又因為,,所以在有零點,因為在單調(diào)遞增,所以在有唯一零點,即有且僅有一個零點;
(2),
∵函數(shù)在定義域內(nèi)既有極大值,又有極小值,∴有兩個正根,
即有兩個正根、,
所以,,
解得,
∴的取值范圍為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】每年的4月23日為“世界讀書日”,某調(diào)查機構(gòu)對某校學(xué)生做了一個是否喜愛閱讀的抽樣調(diào)查.該調(diào)查機構(gòu)從該校隨機抽查了100名不同性別的學(xué)生(其中男生45名),統(tǒng)計了每個學(xué)生一個月的閱讀時間,其閱讀時間(小時)的頻率分布直方圖如圖所示:
(1)求樣本學(xué)生一個月閱讀時間的中位數(shù).
(2)已知樣本中閱讀時間低于的女生有30名,請根據(jù)題目信息完成下面的列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為閱讀與性別有關(guān).
列聯(lián)表
男 | 女 | 總計 | |
總計 |
附表:
0.15 | 0.10 | 0.05 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 |
其中:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示為一名曰“塹堵”的幾何體,已知 AE⊥底面BCFE , DF ∥ AE , DF = AE = 1, CE =,四邊形ABCD 是正方形.
(1)《九章算術(shù)》中將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑.判斷四面體 EABC 是否為鱉臑,若是,寫出其 每一個面的直角,并證明;若不是,請說明理由.
(2)求四面體 EABC 的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】根據(jù)中國生態(tài)環(huán)境部公布的2017年、2018年長江流域水質(zhì)情況監(jiān)測數(shù)據(jù),得到如下餅圖:
則下列說法錯誤的是( )
A.2018年的水質(zhì)情況好于2017年的水質(zhì)情況
B.2018年與2017年相比較,Ⅰ、Ⅱ類水質(zhì)的占比明顯增加
C.2018年與2017年相比較,占比減小幅度最大的是Ⅳ類水質(zhì)
D.2018年Ⅰ、Ⅱ類水質(zhì)的占比超過
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,且與雙曲線有相同的焦點.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線與橢圓相交于,兩點,點滿足,點,若直線斜率為,求面積的最大值及此時直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)當函數(shù)有最大值且最大值大于時,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)已知且,若函數(shù)沒有零點,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某產(chǎn)品的銷售額與廣告費用之間的關(guān)系如下表:
(單位:萬元) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
(單位:萬元) | 10 | 15 | 30 | 35 |
若根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求得對的回歸直線方程為,則下列說法中錯誤的是( )
A.產(chǎn)品的銷售額與廣告費用成正相關(guān)
B.該回歸直線過點
C.當廣告費用為10萬元時,銷售額一定為74萬元
D.的值是20
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