【題目】如圖所示的幾何體中,四邊形為等腰梯形, , ,四邊形為正方形,平面平面.

(1)若點(diǎn)是棱的中點(diǎn),求證: 平面;

(2)求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】試題分析:

(1)要證線面平行,一般先證線線平行,由中點(diǎn)及其他已知可證平行且相等,從而得平行四邊形,也就有線線平行,從而得線面平行;

(2)由已知證得兩兩垂直,以它們?yōu)樽鴺?biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求出平行的法向量,由直線的方向向量與平面法向量夾角余弦的絕對(duì)值等于直線與平面所成角的正弦值可得結(jié)論.

試題解析:

(1)證明:由已知得// ,且.

因?yàn)?/span>為等腰梯形,所以有// .

因?yàn)?/span>是棱的中點(diǎn),所以

所以// ,且,

故四邊形為平行四邊形,

所以// .

因?yàn)?/span>平面, 平面

所以//平面

解:(2)因?yàn)樗倪呅?/span>為正方形,所以.

因?yàn)槠矫?/span>平面,

平面平面平面,

所以平面.

在△中,因?yàn)?/span>,

所以由余弦定理,得,

所以

在等腰梯形中,可得.

如圖,以為原點(diǎn),以所在直線分別為

軸, 建立空間坐標(biāo)系,

, , ,

所以, , .

設(shè)平面的法向量為,由

所以,取,則,得

設(shè)直線與平面所成的角為,

所以與平面所成的角的正弦值為. 

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