Question

如圖，PC⊥平面ABC，DA∥PC，∠BCA=90°，AC=BC=1，PC=2，AD=1．
（Ⅰ）求證：PD⊥平面BCD；．
（Ⅱ）設(shè)Q為PB的中點(diǎn)，求二面角Q-CD-B的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

專題：空間角

分析：（Ⅰ）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明PD⊥平面BCD；．
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)系即可求二面角Q-CD-B的余弦值．

解答： 證明：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABC，∴PC⊥BC，
∵BC⊥AC，PC?面PDAC，AC?平面PDAC，AC∩PC=C，
∴BC⊥平面PDAC，
又PD?平面PDAC，
∴BC⊥PD，
∵CD?面BCD，BC?平面BCD，CD∩BC=C
∴PD⊥平面BCD；．
（Ⅱ）由PC⊥平面ABC，BC⊥AC，則CA，CB，BP，兩兩垂直，
以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間坐標(biāo)系如圖：則A（1，0，0），B（0，1，0），P（0，0，2），Q（0，

1

2

，1）
∴

CD

=(1，0，1)，

CQ

=(0，

1

2

，1)，
設(shè)平面CDQ的法向量

n1

=（x，y，z），
則

CD • n1 =x+z=0 CQ • n1 = 1 2 y+z=0

，取x=1，則y=2，z=-1，即

n1

=（1，2，-1），
設(shè)平面CDB的法向量

m

=（x，y，z），
則

CD • m =x+z=0 CB • m =y=0

，取x=1，則y=0，z=-1，即

m

=（1，0，-1），
設(shè)二面角Q-CD-B為α，則cosα=

n1 • m

| n1 || m |

=

2

6 • 2

=

3

3

，
故二面角Q-CD-B的余弦值為

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間線面垂直的判定，以及空間二面角的大小，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的推理能力．