設(shè)雙曲線的頂點(diǎn)為(0,±1),該雙曲線又與直線
15
x-3y+6=0
交于A,B兩點(diǎn),且OA⊥OB(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(1)求此雙曲線的方程;
(2)求|AB|
(1)雙曲線的頂點(diǎn)為(0,±1),可以假雙曲線的方程為y2-
x2
b2
=1
,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則
15
x1-3y1+6=0
,
15
x2-3y2+6=0

∴15x1x2=9y1y2-18(y1+y2)+36,
x1x2=
3y1y2-6(y1+y2)+12
5

由OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,∴4y1y2-3(y1+y2)+6=0…①
y2-
x2
b2
=1
15
x-3y+6=0
聯(lián)立消去x,∴(15b2-9)y2+36y-(15b2+36)=0…②
∴y1+y2=
36
9-15b2
,y1y2=
15b2+36
9-15b2
,代入①中得b2=3,
經(jīng)驗(yàn)證,此時(shí)△>0,…(9分)
∴雙曲線的方程為y2-
x2
3
=1
(2)將b2=3代入②式中,得4y2+4y-9=0,y1+y2=-1,y1y2=-
9
4

∴|AB|=
1+
1
k2
|y2-y1|=
1+
3
5
1-4×
-9
4
=4.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

與雙曲線x2-
y2
2
=1有相同的漸近線,且過點(diǎn)(2,2)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

雙曲線兩條漸近線互相垂直,那么它的離心率為( 。
A.
2
B.
3
C.2D.
3
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知雙曲線的兩條漸近線方程為直線l1:y=
3
x和l2:y=-
3
x
,其焦點(diǎn)在x軸上,實(shí)軸長(zhǎng)為2.
(Ⅰ)求雙曲線的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l:y=kx+1與雙曲線相切于點(diǎn)M且與右準(zhǔn)線交于N,F(xiàn)為右焦點(diǎn),求證:∠MFN為直角.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

如圖所示的曲線是以銳角△ABC的頂點(diǎn)B、C為焦點(diǎn),且經(jīng)過點(diǎn)A的雙曲線,若△ABC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為a,b,c,且a=4,b=6,
csinA
a
=
3
2
,則此雙曲線的離心率為( 。
A.
3+
7
2
B.
3-
7
2
C.3-
7
D.3+
7

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

若雙曲線C與雙曲線
x2
12
-
y2
8
=1
共漸近線,且過點(diǎn)A(3,
2
)
,則雙曲線C的方程為______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

若方程
x2
k+2
+
y2
5-k
=-1
表示雙曲線,則k的取值范圍是______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

如圖,點(diǎn)F2是⊙F1外的一點(diǎn),點(diǎn)Q是⊙F1上的動(dòng)點(diǎn),射線F1Q交線段F2Q的中垂線于P,則點(diǎn)P一定在( 。
A.以F1、F2為焦點(diǎn),以2|F1Q|為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓上
B.以F1、F2為焦點(diǎn),以2|F1Q|為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線上
C.以F2為焦點(diǎn),以F1F2中點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線上
D.以F1、F2為焦點(diǎn),以|F1Q|為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線上

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

點(diǎn)P在雙曲線x2-y2=1上運(yùn)動(dòng),O為坐標(biāo)原點(diǎn),線段PO中點(diǎn)M的軌跡方程是______.

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同步練習(xí)冊(cè)答案