Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=8，a₄=2，且滿足a_n+2-2a_n+1+a_n=0，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項；
（2）設(shè)S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求S_n．

Answer 1

分析：（1）首先判斷數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，由a₁=8，a₄=2求出公差，代入通項公式即得．
（2）首先判斷哪幾項為非負(fù)數(shù)，哪些是負(fù)數(shù)，從而得出當(dāng)n＞5時，S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a₅-（a₆+a₇+…+a_n）求出結(jié)果；當(dāng)n≤5時，S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n當(dāng)，再利用等差數(shù)列的前n項和公式求出答案．

解答：解：（1）由題意，a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，
∴數(shù)列{a_n}是以8為首項，-2為公差的等差數(shù)列
∴a_n=10-2n，n∈N
（2）（2）∵a_n=10-2n，令a_n=0，得n=5．
當(dāng)n＞5時，a_n＜0；當(dāng)n=5時，a_n=0；當(dāng)n＜5時，a_n＞0．
∴當(dāng)n＞5時，S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a₅-（a₆+a₇+…+a_n）=T₅-（T_n-T₅）=2T₅-T_n，T_n=a₁+a₂+…+a_n．
當(dāng)n≤5時，S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n=T_n．
∴Sn=

-n2+9nn≤5 n2-9n+40n≥6

，n∈N

點(diǎn)評：考查了等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式，求出公差，用代入法直接可求；（2）問的關(guān)鍵是斷哪幾項為非負(fù)數(shù)，哪些是負(fù)數(shù)，屬于中檔題．