Question

已知點(diǎn)A（-3，5），B（2，15），在直線l：3x-4y+4=0上求一點(diǎn)P，使|PA|+|PB|最�。�

Answer 1

分析：先作出點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，然后連接A′B，則直線A′B與l的交點(diǎn)P為所求．利用線段的垂直平分線的性質(zhì)
求得A′（3，-3），可得直線A′B的方程，再把直線A′B的方程與直線l的方程聯(lián)立方程組求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：由題意知，點(diǎn)A、B在直線l的同一側(cè)．由平面幾何性質(zhì)可知，先作出點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，
然后連接A′B，則直線A′B與l的交點(diǎn)P為所求．
事實(shí)上，設(shè)點(diǎn)P′是l上異于P的點(diǎn)，則|P′A|+|P′B|=|P′A′|+|P′B|＞A′A^′B|=|PA|+|PB|．
設(shè)A′（x，y），則

y-5

x+3

•

3

4

=-1，且 3•

x-3

2

-4

y+5

2

+4=0，解得 x=3，y=-3，∴A′（3，-3），
∴直線A′B的方程為18x+y-51=0．
由

3x-4y+4=0 18x+y-51=0

，解得

x= 8 3 y=3

，
∴P（

8

3

，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)應(yīng)用，求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中檔題．