Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若存在，對(duì)任意，使得恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）已知函數(shù)區(qū)間上的最小值為1，求實(shí)數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）；(2) ；(3) .

【解析】

(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得到，代入點(diǎn)（1，1）可得到方程；（2）設(shè)函數(shù)，存在，對(duì)任意恒成立，即在上存在最小值，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)則只需要函數(shù)在上不單調(diào)即可；（3），，存在唯一的，使得，即 （*），=，可根據(jù)不等式得到最值，進(jìn)而求得a值.

（1） ，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為；

(2)設(shè)函數(shù)，存在，對(duì)任意恒成立，即在上存在最小值，

=，，

當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，無(wú)最小值；

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞增，時(shí)，有最小值滿足題意，實(shí)數(shù)的取值范圍是；

（3），，

在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，存在唯一的，使得，即 （*），

函數(shù)在上單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減；，單調(diào)遞增，，由式得，

=

,

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)），由得,此時(shí)，把代入（*）也成立，

∴實(shí)數(shù)的值為.