Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

lnx+ax2（a∈R）．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)(

1

2

，f(

1

2

))處的切線l_切與直線l：x+2y-2=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；若存在極值點(diǎn)x₀∈（1，2），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出y=f（x）在點(diǎn)(

1

2

，f(

1

2

))處的導(dǎo)數(shù)值，結(jié)合切線l_切與直線l：x+2y-2=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分a≥0和a＜0討論，當(dāng)a＜0時(shí)求出原函數(shù)的零點(diǎn)，得到函數(shù)的單調(diào)期間，求出極值點(diǎn)，由極值點(diǎn)x₀∈（1，2）列不等式求得a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

1

2

lnx+ax2（a∈R），
∴f/(x)=

1

2x

+2ax，（x＞0，a∈R），
∴k=f/(

1

2

)=1+a，
由l_切與直線l：x+2y-2=0垂直，
得(1+a)•(-

1

2

)=-1，解得a=1；
（Ⅱ） f/(x)=

1

2x

+2ax=

4ax2+1

2x

，（x＞0）
當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）＞0在x＞0上恒成立，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），無遞減區(qū)間；
當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）=0，4ax²+1=0，解得，x=

- 1 4a

．
由f′（x）＞0，4ax²+1＞0，解得，0＜x＜

- 1 4a

；
由f′（x）＜0，4ax²+1＜0，解得，x＞

- 1 4a

．
此時(shí)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，

- 1 4a

)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(

- 1 4a

，+∞)．
綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），無遞減區(qū)間；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，

- 1 4a

)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(

- 1 4a

，+∞)．
若存在極值點(diǎn)x₀∈（1，2），由函數(shù)的單調(diào)性知，x0=

- 1 4a

且a＜0；
由1＜

- 1 4a

＜2，解得-

1

4

＜a＜-

1

16

．
∴所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-

1

4

，-

1

16

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是中檔題．