【題目】已知拋物線與軸交于點(diǎn),直線與拋物線交于點(diǎn),兩點(diǎn).直線,分別交橢圓于點(diǎn)、(,與不重合)
(1)求證:;
(2)若,求直線的斜率的值;
(3)若為坐標(biāo)原點(diǎn),直線交橢圓于,,若,且,則是否為定值?若是,求出定值;若不是,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3)是定值,為定值10.
【解析】
(1) 直線和拋物線方程聯(lián)立,根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系、斜率公式可以計(jì)算出,也就證明出;
(2)設(shè)出直線的斜率,直線的斜率,求出它們的直線方程,通過解一元二次方程組求出,的坐標(biāo),最后利用面積公式求出的表達(dá)式,同理求出的表達(dá)式,最后求出直線的斜率的值;
(3) 設(shè),,根據(jù)余弦定理和,可以得到又,.通過對(duì)兩個(gè)等式進(jìn)行移項(xiàng)相乘和兩個(gè)等式相加,最后可以求出的值為定值.
解:(1)由題意知,直線的方程為.
由得,
設(shè),,則,是上述方程的兩個(gè)實(shí)根,
于是,.
又點(diǎn)的坐標(biāo)為,
所以
故,即.
(2)設(shè)直線的斜率為,則直線的方程為,
由,解得,或,則點(diǎn)的坐標(biāo)為.
又直線的斜率為,同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為.
于是,.
由得,
解得或,則點(diǎn)的坐標(biāo)為.
又直線的斜率為,同理可得點(diǎn)的坐標(biāo).
于是,.
因此,.
由題意知,解得或.
又由點(diǎn),的坐標(biāo)可知,,所以.
(3)設(shè),,四邊形為平行四邊形,
由余弦定理有,
,
兩式相加得.
又.
又,,
上面兩式移項(xiàng)相乘得,
上面兩式相加得.
所以.
因此為定值10.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著“北京八分鐘”在韓國平昌冬奧會(huì)驚艷亮相,冬奧會(huì)正式進(jìn)入了北京周期,全社會(huì)對(duì)冬奧會(huì)的熱情空前高漲.
(1)為迎接冬奧會(huì),某社區(qū)積極推動(dòng)冬奧會(huì)項(xiàng)目在社區(qū)青少年中的普及,并統(tǒng)計(jì)了近五年來本社區(qū)冬奧項(xiàng)目青少年愛好者的人數(shù)(單位:人)與時(shí)間(單位:年),列表如下:
依據(jù)表格給出的數(shù)據(jù),是否可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系,請(qǐng)計(jì)算相關(guān)系數(shù)并加以說明(計(jì)算結(jié)果精確到0.01).
(若,則線性相關(guān)程度很高,可用線性回歸模型擬合)
附:相關(guān)系數(shù)公式,參考數(shù)據(jù).
(2)某冰雪運(yùn)動(dòng)用品專營店為吸引廣大冰雪愛好者,特推出兩種促銷方案.
方案一:每滿600元可減100元;
方案二:金額超過600元可抽獎(jiǎng)三次,每次中獎(jiǎng)的概率同為 ,且每次抽獎(jiǎng)互不影響,中獎(jiǎng)1次打9折,中獎(jiǎng)2次打8折,中獎(jiǎng)3次打7折. v
兩位顧客都購買了1050元的產(chǎn)品,并且都選擇第二種優(yōu)惠方案,求至少有一名顧客比選擇方案一更優(yōu)惠的概率;
②如果你打算購買1000元的冰雪運(yùn)動(dòng)用品,請(qǐng)從實(shí)際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析應(yīng)該選擇哪種優(yōu)惠方案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知兩點(diǎn)分別在軸和軸上運(yùn)動(dòng),且,若動(dòng)點(diǎn)滿足.
(1)求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡對(duì)應(yīng)曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)一條縱截距為2的直線與曲線C交于P,Q兩點(diǎn),若以PQ直徑的圓恰過原點(diǎn),求出直線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖:在四棱錐中,平面.,,.點(diǎn)是與的交點(diǎn),點(diǎn)在線段上且.
(1)證明:平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值;
(3)求二面角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了紀(jì)念“一帶一路”倡議提出五周年,某城市舉辦了一場(chǎng)知識(shí)競(jìng)賽,為了了解市民對(duì)“一帶一路”知識(shí)的掌握情況,從回收的有效答卷中按青年組和老年組各隨機(jī)抽取了40份答卷,發(fā)現(xiàn)成績(jī)都在內(nèi),現(xiàn)將成績(jī)按區(qū)間,,,,進(jìn)行分組,繪制成如下的頻率分布直方圖.
青年組
中老年組
(1)利用直方圖估計(jì)青年組的中位數(shù)和老年組的平均數(shù);
(2)從青年組,的分?jǐn)?shù)段中,按分層抽樣的方法隨機(jī)抽取5份答卷,再從中選出3份答卷對(duì)應(yīng)的市民參加政府組織的座談會(huì),求選出的3位市民中有2位來自分?jǐn)?shù)段的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線過點(diǎn)且與直線垂直,直線與軸交于點(diǎn),點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱,動(dòng)點(diǎn)滿足.
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)的直線與軌跡相交于兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn),直線的斜率分別為,問是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】團(tuán)體購買公園門票,票價(jià)如下表:
購票人數(shù) | 1~50 | 51~100 | 100以上 |
門票價(jià)格 | 13元/人 | 11元/人 | 9元/人 |
現(xiàn)某單位要組織其市場(chǎng)部和生產(chǎn)部的員工游覽該公園,若按部門作為團(tuán)體,選擇兩個(gè)不同的時(shí)間分別購票游覽公園,則共需支付門票費(fèi)為1290元;若兩個(gè)部門合在一起作為一個(gè)團(tuán)體,同一時(shí)間購票游覽公園,則需支付門票費(fèi)為990元,那么這兩個(gè)部門的人數(shù)之差為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣,某校開展了為期一年的“弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化,閱讀經(jīng)典名著”活動(dòng). 活動(dòng)后,為了解閱讀情況,學(xué)校統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩組各10名學(xué)生的閱讀量(單位:本),統(tǒng)計(jì)結(jié)果用莖葉圖記錄如下,乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊,無法確認(rèn),在圖中以a表示.
(Ⅰ)若甲組閱讀量的平均值大于乙組閱讀量的平均值,求圖中a的所有可能取值;
(Ⅱ)將甲、乙兩組中閱讀量超過15本的學(xué)生稱為“閱讀達(dá)人”. 設(shè),現(xiàn)從所有的“閱讀達(dá)人”里任取2人,求至少有1人來自甲組的概率;
(Ⅲ)記甲組閱讀量的方差為. 若在甲組中增加一個(gè)閱讀量為10的學(xué)生,并記新得到的甲組閱讀量的方差為,試比較,的大小.(結(jié)論不要求證明)
(注:,其中為數(shù)據(jù)的平均數(shù))
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