【題目】已知函數(shù).

（1）若恒成立，求在處的切線方程；

（2）若有且只有兩個(gè)整數(shù)解，求的取值范圍.

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)由恒成立可知即，即可得到在處的切線方程；

(2)可化簡為.對a分類討論，當(dāng)時(shí)，顯然不適合，當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，數(shù)形結(jié)合分析可得結(jié)果.

（1）∵，∴.

∵恒成立，∴，∴.

當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∴恒成立，∴符合題意.

∴，，故，，

∴在處的切線方程為，即.

（2）∵，化簡即.

（i）當(dāng)時(shí)，時(shí)，，∴恒成立，

此時(shí)有無數(shù)個(gè)整數(shù)解，不合題意；

（ii）當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，令.

∴，令，∴，∴在上單調(diào)遞增.

又，，∴存在唯一使得.

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且.

又，，，，

∴當(dāng)原不等式有且只有兩個(gè)整數(shù)解時(shí)，，

即.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線與軸交于點(diǎn),直線與拋物線交于點(diǎn)，兩點(diǎn)．直線,分別交橢圓于點(diǎn)、（,與不重合）

(1)求證：；

(2)若,求直線的斜率的值；

(3)若為坐標(biāo)原點(diǎn),直線交橢圓于，，若,且,則是否為定值？若是,求出定值；若不是,請說明理由．

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【題目】設(shè)是圓上的任意一點(diǎn)，是過點(diǎn)且與軸垂直的直線，是直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足.當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時(shí)，記點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）已知點(diǎn)，過的直線交曲線于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn).判定直線的斜率是否依次構(gòu)成等差數(shù)列？并說明理由.

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【題目】2019年春節(jié)期間，我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速免費(fèi)政策”.某路橋公司為掌握春節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速收費(fèi)點(diǎn)處記錄了大年初三上午9:20～10:40這一時(shí)間段內(nèi)通過的車輛數(shù)，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)這一時(shí)間段內(nèi)共有600輛車通過該收費(fèi)點(diǎn)，它們通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的頻率分布直方圖如圖所示，其中時(shí)間段9:20～9：40記作區(qū)間，9:40～10:00記作，10:00～10:20記作，10:20～10:40記作.比方：10點(diǎn)04分，記作時(shí)刻64.

（1）估計(jì)這600輛車在9:20～10:40時(shí)間段內(nèi)通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；

（2）為了對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機(jī)抽取4輛，記為9:20～10:00之間通過的車輛數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（3）由大數(shù)據(jù)分析可知，車輛在春節(jié)期間每天通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻服從正態(tài)分布，其中可用這600輛車在9:20～10:40之間通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值近似代替，可用樣本的方差近似代替（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表），已知大年初五全天共有1000輛車通過該收費(fèi)點(diǎn)，估計(jì)在9:46～10:40之間通過的車輛數(shù)（結(jié)果保留到整數(shù)）.

參考數(shù)據(jù)：若，則，，.

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【題目】據(jù)說偉大的阿基米德逝世后，敵軍將領(lǐng)馬塞拉斯給他建了一塊墓碑，在墓碑上刻了一個(gè)如圖所示的圖案，圖案中球的直徑、圓柱底面的直徑和圓柱的高相等，圓錐的頂點(diǎn)為圓柱上底面的圓心，圓錐的底面是圓柱的下底面．

（1）試計(jì)算出圖案中球與圓柱的體積比；

（2）假設(shè)球半徑．試計(jì)算出圖案中圓錐的體積和表面積.

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【題目】如圖，已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)F做x軸的垂線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且．

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(2)若M，N為橢圓上異于點(diǎn)A的兩點(diǎn)，且直線的傾斜角互補(bǔ)，問直線MN的斜率是否為定值?若是，求出這個(gè)定值；若不是，請說明理由．

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【題目】某輪船公司年初以200萬元購進(jìn)一艘輪船，以每年40萬元的價(jià)格出租給海運(yùn)公司.輪船公司負(fù)責(zé)輪船的維護(hù)，第一年維護(hù)費(fèi)為4萬元，隨著輪船的使用與磨損，以后每年的維護(hù)費(fèi)比上一年多2萬元，同時(shí)該輪船第年末可以以萬元的價(jià)格出售.

（1）寫出輪船公司到第年末所得總利潤萬元關(guān)于的函數(shù)解析式，并求的最大值；

（2）為使輪船公司年平均利潤最大，輪船公司應(yīng)在第幾年末出售輪船？

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(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓的切線、，切點(diǎn)分別為、，求經(jīng)過、、、四點(diǎn)的圓所過的定點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)相互垂直的直線，分別過橢圓的左、右焦點(diǎn)，，且與橢圓的交點(diǎn)分別為、和、.

（1）當(dāng)的傾斜角為時(shí)，求以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）問是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

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