Question

【題目】已知正三角形ABC的邊長為2，D、E、F分別是BC、CA、AB的中點(diǎn)．
（1）在三角形內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)P，求滿足|PB|≥1且|PC|≥1的概率；
（2）在A、B、C、D、E、F這6點(diǎn)中任選3點(diǎn)，記這3點(diǎn)圍成圖形的面積為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1所示，

分別以正△ABC的頂點(diǎn)B、C為圓心，以1為半徑畫圓弧，交邊AB、BC、AC于點(diǎn)F、D、E；

則點(diǎn)P在區(qū)域①時(shí)滿足條件|PB|≥1且|PC|≥1，

其概率為P=1﹣ =1﹣ =1﹣

（2）解：在A、B、C、D、E、F這6點(diǎn)中任選3點(diǎn)，共有20種不同的取法；

記這3點(diǎn)圍成圖形的面積為ξ，則ξ=0， S△， S△，S△；其中S△= ；

P（ξ=0）= ，P（ξ= S△）= = ，P（ξ= S△）= = ，P（ξ=S△）= ；

所以隨機(jī)變量ξ的分布列為：

ξ	0
P

數(shù)學(xué)期望Eξ=0× + × + × + × =

【解析】（1）根據(jù)幾何概型的計(jì)算公式，求出滿足條件|PB|≥1且|PC|≥1的概率值即可；（2）根據(jù)題意，求出3點(diǎn)圍成圖形的面積ξ的可能取值以及對應(yīng)的概率值，列出ξ的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望Eξ的值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用幾何概型和離散型隨機(jī)變量及其分布列的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握幾何概型的特點(diǎn)：1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無限多個(gè)；2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等；在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡稱分布列．