【題目】如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1 , ∠BAA1=60°.
(1)證明:AB⊥A1C;
(2)若AB=CB=2,A1C= ,求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值.
【答案】
(1)證明:取AB中點O,連CO,OA1,A1B,
∵AB=AA1,∠BAA1=60°,
∴△A1AB為正三角形,
∴A1O⊥AB,
∵CA=CB,∴CO⊥AB,
∵CO∩A1O=O,
∴AB⊥平面COA1,
∵A1C平面COA1,
∴AB⊥A1C.
(2)解:∵AB=CB=2,AB=AA1,CA=CB,∠BAA1=60°,
∴CO=A1O= = ,
∵A1C= ,
∴ = ,
∴OC⊥A1O,
∵OC∩AB=O,∴A1O⊥平面ABC,
建立如圖空間直角坐標系O﹣xyz,
O(0,0,0),A(1,0,0), ,C(0,0, ),
設(shè)平面AA1C的法向量為 ,
則 , ,
∴ ,
∴ =( ,1,1),
平面向量ACB的法向量 =(0,1,0),
cos< , >= = .
∴二面角B﹣AC=A1的余弦值為 .
【解析】(1)取AB中點O,連CO,OA1 , A1B,由題設(shè)條件推導出△A1AB為正三角形,從而得到A1O⊥AB,由CA=CB,得到CO⊥AB,由此能夠證明AB⊥A1C.(2)以O(shè)A為x軸,以O(shè)A1為y軸,以O(shè)C為z軸建立空間直角坐標系O﹣xyz,利用向量法能求出二面角B﹣AC=A1的余弦值.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】橢圓E: (a>b>0)的左右焦點分別為F1、F2 , D為橢圓短軸上的一個頂點,DF1的延長線與橢圓相交于G.△DGF2的周長為8,|DF1|=3|GF1|.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)過橢圓E的左頂點A作橢圓E的兩條互相垂直的弦AB、AC,試問直線BC是否恒過定點?若是,求出此定點的坐標;若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系xOy中,曲線 (t為參數(shù),t∈R),曲線 (θ為參數(shù),θ∈[0,2π]).
(Ⅰ)以O(shè)為極點,x軸正半軸為極軸,取相同的長度單位建立極坐標系,求曲線C2的極坐標方程;
(Ⅱ)若曲線C1與曲線C2相交于點A、B,求|AB|.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)定義在R上的偶函數(shù)y=f(x),滿足對任意t∈R都有f(t)=f(2﹣t),且x∈(0,1]時,f(x)= ,a=f( ),b=f( ),c=f( ),則( )
A.b<c<a
B.a<b<c
C.c<a<b
D.b<a<c
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知正三角形ABC的邊長為2,D、E、F分別是BC、CA、AB的中點.
(1)在三角形內(nèi)部隨機取一點P,求滿足|PB|≥1且|PC|≥1的概率;
(2)在A、B、C、D、E、F這6點中任選3點,記這3點圍成圖形的面積為ξ,求隨機變量ξ的分布列與數(shù)學期望Eξ.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中為正實數(shù).
(1)若函數(shù)在處的切線斜率為2,求的值;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若函數(shù)有兩個極值點,求證: .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】輸入x,求函數(shù)y=的值的程序框圖如圖C17所示.
(1)指出程序框圖中的錯誤之處并寫出正確的算法步驟.
(2)重新繪制程序框圖,并回答下面提出的問題.
①要使輸出的值為7,則輸入的x的值應為多少?
②要使輸出的值為正數(shù),則輸入的x應滿足什么條件?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: +y2=1與直線l:y=kx+m相交于E、F兩不同點,且直線l與圓O:x2+y2= 相切于點W(O為坐標原點).
(1)證明:OE⊥OF;
(2)設(shè)λ= ,求實數(shù)λ的取值范圍.
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