(本題12分)如圖,四棱柱ABCD—A
B
C
D
中,A
D
平面ABCD,底面ABCD是邊長為1的正方形,側(cè)棱AA
=2.
(1)求證:C
D∥平面ABB
A
;
(2)求直線BD
與平面A
C
D所成角的正弦值;
(3)求二面角D—A
C
一A的余弦值.
(1)證明見解析。
(2)
(3)
(1)證明:四棱柱ABCD—A
1B
1C
1D
1中,BB
1//CC
1,
又CC
1面ABB
1A
1,
所以CC
1//平面ABB
1A
1,
ABCD是正方形,所以CD//AB,
又CD
面ABB
1A
1,所以CD//平面ABB
1A
1,
所以平面CDD
1C
1//平面ABB
1A
1,
所以C
1D//平面ABB
1A
1。
(2)ABCD是正方形,AD⊥CD,
因為A
1D⊥平面ABCD,所以A
1D⊥AD,A
1D⊥CD,
如圖,以D為原點建立空間直角坐標系D-xyz,
在△ADA
1中,由已知可得A
1D=
,
所以D(0,0,0),A
1(0,0,
),A(1,0,0),C
1(-1,1,
)
B
1(0,1,
),D
1(-1,0,
),B(0,1,0)
因為A
1D⊥平面ABCD,
所以A
1D⊥平面A
1B
1C
1D
1,
A
1D⊥B
1D
1,
又B
1D
1⊥A
1C
1,
所以B
1D
1⊥平面A
1C
1D
1,
所以平面A
1C
1D
1的一個法向量為
=(1,1,0)
設(shè)
與
所成的角為β,
則
,
所以直線BD
1與平面A
1C
1D
1所成角的正弦值為
。
(3)設(shè)平面A
1C
1A的法向量為
,
則
,所以
令c=
,可得=
設(shè)二面角D—A
1C
1—A的大小為α,
則
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖,在長方體ABCD-A
1B
1C
1D
1中,E,H分別是棱A
1B
1,D
1C
1上的點(點E與B
1不重合),且EH∥A
1 D
1. 過EH的平面與棱BB
1,CC
1相交,交點分別為F,G。
(I) 證明:AD∥平面EFGH;
(II) 設(shè)AB=2AA
1 ="2" a .在長方體ABCD-A
1B
1C
1D
1內(nèi)隨機選取一點。記該點取自幾何體A
1ABFE-D
1DCGH內(nèi)的概率為p,當(dāng)點E,F(xiàn)分別在棱A
1B
1上運動且滿足EF=a時,求p的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)已知矩形
ABCD中,
,
,現(xiàn)沿對角線
折成二面角
,使
(如圖).
(I)求證:
面
;
(II)求二面角
平面角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,△ABC內(nèi)接于圓O,AB是圓O的直徑,
,
,設(shè)AE與平面ABC所成的角為
,且
,
四邊形DCBE為平行四邊形,DC
平面ABC.
(1)求三棱錐C-ABE的體積;
(2)證明:平面ACD
平面ADE;
(3)在CD上是否存在一點M,使得MO//平面ADE?證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,在底面是菱形的四棱錐
P-
ABCD中,∠ABC=60
0,
PA=
AC=
a,
PB=
PD=
,點
E在
PD上,且
PE:
ED=2:1.
(Ⅰ)證明
PA⊥平面
ABCD;
(Ⅱ)求以
AC為棱,
EAC與
DAC為面的二面角
的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如下圖所示,在等腰梯形
中,
為
邊上一點,
且
將
沿
折起,使平面
⊥平面
.(1)求證:
⊥平面
;
(2)若
是側(cè)棱
中點,求截面
把幾何體分成的兩部分的體積之比。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
在三棱錐
中,
是邊長為
的正三角形,平面
平面
,
,
、
分別為
、
的中點,
(1)證明:
;
(2)求二面角
的大小;
(3)求點
到平面
的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
四面體ABCD中,共頂點A的三條棱兩兩相互垂直,且其長分別為
,若四面體的四個頂點同在一個球面上,則這個球的表面積為 。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
正方體
--
,E、F分別是
、
的中點,p是
上的動點(包括端點),過E、D、P作正方體的截面,若截面為四邊形,則P的軌跡是
A.線段
B、線段
C、線段
和一點
D、線段
和一點C。
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