【題目】如圖,在四棱錐 中,平面,底面為菱形,且,為的中點.
(1)證明:平面;
(2)若,,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)根據(jù)菱形基本性質(zhì)得BC⊥AE,再由線面垂直得BC⊥AP,故BC⊥平面PAE;
(2)以P為坐標原點,的方向分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,分別求出平面BAP與平面CDP的法向量計算即可.
(1)連接AC,因為底面ABCD為菱形,且∠ABC=60°,所以△ABC為正三角形,
因為E為BC的中點,所以BC⊥AE,又因為AP⊥平面PBC,BC平面PBC,
所以BC⊥AP,因為AP∩AE=A,AP,AE平面PAE,所以BC⊥平面PAE;
(2)因為AP⊥平面PBC,PB平面PBC,所以AP⊥PB,又因為AB=2,PA=1,所以PB=,
由(1)得BC⊥PE,又因為E為BC中點,所以PB=PC=,EC=1,所以PE=,
如圖,過點P作BC的平行線PQ,則PQ,PE,PA兩兩互相垂直,
以P為坐標原點,的方向分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,
則P(0,0,0),A(0,0,1),B(,﹣1,0),C(,1,0),D(0,2,1),
設(shè)平面BAP的一個法向量=(x,y,z),又=(0,0,1),=(,﹣1,0),
由,得x﹣y=0,z=0,令x=1,則=(1,,0),
設(shè)平面CDP的一個法向=(a,b,c),又=(,1,0),=(0,2,1),
由,得a+b=0,2y+z=0,令a=1,則=(1,﹣,2),
所以,即平面ABP與平面CDP所成銳二面角的余弦值為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系內(nèi),已知點及線段,在線段上任取一點,線段長度的最小值稱為“點到線段的距離”,記為.
(1)設(shè)點,線段 ,求;
(2)設(shè), , , ,線段,線段,若點滿足,求關(guān)于的函數(shù)解析式,并寫出該函數(shù)的值域.
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【題目】已知橢圓的離心率,且經(jīng)過點,,,,為橢圓的四個頂點(如圖),直線過右頂點且垂直于軸.
(1)求該橢圓的標準方程;
(2)為上一點(軸上方),直線,分別交橢圓于,兩點,若,求點的坐標.
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【題目】在平面直角坐標系中,已知是曲線:上的動點,將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到,設(shè)點的軌跡為曲線.以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求曲線,的極坐標方程;
(2)在極坐標系中,點,射線與曲線,分別相交于異于極點的兩點,求的面積.
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【題目】已知定義在上的數(shù)滿足,當時.若關(guān)于的方程有三個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)的取值范圍是( )
A.B.
C.D.
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【題目】已知,,順次是橢圓:的右頂點、上頂點和下頂點,橢圓的離心率,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)若斜率的直線過點,直線與橢圓交于,兩點,試判斷:以為直徑的圓是否經(jīng)過點,并證明你的結(jié)論.
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【題目】如圖是函數(shù)在區(qū)間上的圖象,為了得到這個函數(shù)的圖象,只需將的圖象上的所有點( )
A.向左平移個長度單位,再把所得各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>,縱坐標不變
B.向左平移個長度單位,再把所得各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍,縱坐標不變
C.向左平移個長度單位,再把所得各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>,縱坐標不變
D.向左平移個長度單位,再把所得各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍,縱坐標不變
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【題目】已知函數(shù)
(1)若關(guān)于的方程有兩個不同實數(shù)根,求的取值范圍;
(2)若關(guān)于的不等式對任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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