【題目】已知函數(shù).
(1)若關(guān)于的不等式的解集為,求函數(shù)的最小值;
(2)是否存在實數(shù),使得對任意,存在,不等式成立?若存在,求出的取值范圍;若不存在,說明理由.
【答案】(1);
(2)不存在實數(shù),使得對任意,存在,不等式成立,理由見解析.
【解析】
(1)利用二次不等式解集的性質(zhì)與韋達定理求解得,再代入了與基本不等式求最值即可.
(2)由題可知若存在則,根據(jù)對數(shù)不等式性質(zhì)可知,再分析二次函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系求得的最值分析即可.
(1)依題意得,2和3是方程的兩根
由韋達定理可知:
∴
又∵,∴
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,
所以的最小值為.
(2)假設(shè)存在實數(shù),使得對任意,存在,不等式成立
∴
∵時,,∴
∴在成立
記,其對稱軸為,
①當(dāng),即時,
由,∴…
②當(dāng),即時,
由,∴
綜上所述,不存在實數(shù),使得對任意,存在,不等式成立.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,圓柱體木材的橫截面半徑為,從該木材中截取一段圓柱體,再加工制作成直四棱柱,該四棱柱的上、下底面均為等腰梯形,分別內(nèi)接于圓柱的上、下底面,下底面圓的圓心在梯形內(nèi)部,,,,設(shè).
(1)求梯形的面積;
(2)當(dāng)取何值時,直四棱柱的體積最大?并求出最大值(注:木材的長度足夠長)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),其中.
(Ⅰ)試討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)若函數(shù)存在極值,對于任意的,存在正實數(shù),使得 ,試判斷與的大小關(guān)系并給出證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,該幾何體是由一個直三棱柱ABE﹣DCF和一個四棱錐P﹣ABCD組合而成,其中EF=EA=EB=2,AE⊥EB,PA=PD,平面PAD∥平面EBCF.
(1)證明:平面PBC∥平面AEFD;
(2)求直線AP與平面PCD所成角的正弦值.
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【題目】某城市美團外賣配送員底薪是每月1800元,設(shè)每月配送單數(shù)為X,若,每單提成3元,若,每單提成4元,若,每單提成4.5元,餓了么外賣配送員底薪是每月2100元,設(shè)每月配送單數(shù)為Y,若,每單提成3元,若,每單提成4元,小想在美團外賣和餓了么外賣之間選擇一份配送員工作,他隨機調(diào)查了美團外賣配送員甲和餓了么外賣配送員乙在2019年4月份(30天)的送餐量數(shù)據(jù),如下表:
表1:美團外賣配送員甲送餐量統(tǒng)計
日送餐量x(單) | 13 | 14 | 16 | 17 | 18 | 20 |
天數(shù) | 2 | 6 | 12 | 6 | 2 | 2 |
表2:餓了么外賣配送員乙送餐量統(tǒng)計
日送餐量x(單) | 11 | 13 | 14 | 15 | 16 | 18 |
天數(shù) | 4 | 5 | 12 | 3 | 5 | 1 |
(1)設(shè)美團外賣配送員月工資為,餓了么外賣配送員月工資為,當(dāng)時,比較 與的大小關(guān)系
(2)將4月份的日送餐量的頻率視為日送餐量的概率
(。┯嬎阃赓u配送員甲和乙每日送餐量的數(shù)學(xué)期望E(X)和E(Y)
(ⅱ)請利用所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)知識為小王作出選擇,并說明理由.
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【題目】幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召,開發(fā)了一款應(yīng)用軟件,為激發(fā)大家的學(xué)習(xí)興趣,他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動,這款軟件的激活碼為下列數(shù)學(xué)問題的答案:已知數(shù)列1、1、2、1、2、4、8、1、2、4、8、16、……,其中第一項是,接下來的兩項是,再接下來的三項是,……,以此類推,求滿足如下條件的最小整數(shù)且該數(shù)列的前項和為2的整數(shù)冪,那么該軟件的激活碼是________。
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【題目】為弘揚民族古典文化,學(xué)校舉行古詩詞知識競賽,某輪比賽由節(jié)目主持人隨機從題庫中抽取題目讓選手搶答,回答正確給改選手記正10分,否則記負(fù)10分.根據(jù)以往統(tǒng)計,某參賽選手能答對每一個問題的概率為;現(xiàn)記“該選手在回答完個問題后的總得分為”.
(1)求且的概率;
(2)記,求的分布列,并計算數(shù)學(xué)期望.
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【題目】某中學(xué)為調(diào)查高三學(xué)生英語聽力水平的情況,隨機抽取了高三年級的80名學(xué)生進行測試,根據(jù)測試結(jié)果繪制了英語聽力成績(滿分為30分)的頻率分布直方圖,將成績不低于27分的定為優(yōu)秀
(1)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此資料判斷是否有90%的把握認(rèn)為英語聽力成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)?
英語聽力優(yōu)秀 | 非英語聽力優(yōu)秀 | 合計 | |
男同學(xué) | 10 | ||
女同學(xué) | 36 | ||
合計 |
(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率,現(xiàn)在從該校高三學(xué)生中,采取隨機抽樣方法每次抽取1名學(xué)生,共抽取3次,記被抽取的3名學(xué)生中“英語聽力優(yōu)秀”的人數(shù)為X,若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)
參考公式:,其中
參考臨界值:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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