【題目】設(shè)函數(shù)，其中．

（Ⅰ）試討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）若函數(shù)存在極值，對于任意的，存在正實數(shù)，使得 ，試判斷與的大小關(guān)系并給出證明.

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ），證明見解析

【解析】

（Ⅰ）求得的導數(shù)，并分解因式，討論和，判斷導數(shù)的符號，即可得到所求單調(diào)性；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當時，存在極值．由條件知，求出，，作差，運用構(gòu)造函數(shù)法，求出導數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到所求大小關(guān)系．

解：（Ⅰ）因為的定義域為，

屬于，

當時，，在上單調(diào)遞增；

當時，則由得或（舍去），

故時，；時，，

所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

綜上所述，當時，在上單調(diào)遞增；

當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當時，存在極值．

，

由條件知，，

又，

則

，

設(shè)，由，可得，

則，

令，，

可得 恒成立，

則在單調(diào)遞增，則（1），

則，即，

則，

即，

又在上單調(diào)遞減，

則，

即有．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左頂點為，右焦點為，點在橢圓上．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓交于兩點，直線分別與軸交于點，在軸上，是否存在點，使得無論非零實數(shù)怎樣變化，總有為直角？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中，底面是邊長為4的正三角形，，底面，點分別為，的中點.

（1）求證：平面平面；

（2）在線段上是否存在點，使得直線與平面所成的角的正弦值為？若存在，確定點的位置；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在棱長為2的正方體中，點M是對角線上的點（點M與A、不重合），則下列結(jié)論正確的個數(shù)為（ ）

①存在點M，使得平面平面；

②存在點M，使得平面；

③若的面積為S，則；

④若、分別是在平面與平面的正投影的面積，則存在點M，使得.

A.1個B.2個C.3個D.4個

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，是由兩個全等的菱形和組成的空間圖形，，∠BAF＝∠ECD＝60°.

（1）求證：；

（2）如果二面角B－EF－D的平面角為60°，求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知命題：函數(shù)在上單調(diào)遞增；命題：函數(shù)在上單調(diào)遞減.

（Ⅰ）若是真命題，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）若或為真命題，且為假命題，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，梯形中，，過分別作，，垂足分別，，已知，將梯形沿同側(cè)折起，得空間幾何體 ，如圖．

1若，證明：平面；

2若，，線段上存在一點，滿足與平面所成角的正弦值為，求的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐C﹣ABNM中，四邊形ABNM的邊長均為2，△ABC為正三角形，MB，MB⊥NC，E，F分別為MN，AC中點．

（Ⅰ）證明：MB⊥AC；

（Ⅱ）求直線EF與平面MBC所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)集合＝{1，2，3，…，n}(其中n≥3，n)，將的所有3元子集（含有3個元素的子集）中的最小元素的和記為.

（1）求，，的值；

（2）試求的表達式.

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