Question

【題目】直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=1，E，F(xiàn)分別是CC1 ， BC的中點(diǎn)，AE⊥A1B1 ， D為棱A1B1上的點(diǎn)．

（1）證明：AB⊥AC；
（2）證明：DF⊥AE；
（3）是否存在一點(diǎn)D，使得平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為 ？若存在，說(shuō)明點(diǎn)D的位置，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，∴AE⊥AB，

又∵AA1⊥AB，AA1∩AE=A，∴AB⊥面A1ACC1．

又∵AC面A1ACC1，∴AB⊥AC

（2）證明：以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，

則有 ，

設(shè) 且λ∈（0，1），

即（x，y，z﹣1）=λ（1，0，0），則D（λ，0，1），∴ ，

∵ ，∴ ，所以DF⊥AE

（3）解：結(jié)論：存在一點(diǎn)D，使得平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為 ，理由如下：

由題可知面ABC的法向量 ，設(shè)面DEF的法向量為 ，

則 ，

∵ ，

∴ ，即 ，

令z=2（1﹣λ），則 ．

∵平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為 ，

∴ = ，

即 = ，

解得 或 （舍），

所以當(dāng)D為A1B1中點(diǎn)時(shí)滿(mǎn)足要求．

【解析】（1）根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理證明AB⊥面A1ACC1 ． 即可．（2）建立空間坐標(biāo)系，求出直線(xiàn)對(duì)應(yīng)的向量，利用向量垂直的關(guān)系進(jìn)行證明．（3）求出平面的法向量，利用向量法進(jìn)行求解即可．