【題目】已知，設(shè)函數(shù)，.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）是否存在整數(shù)，對于任意，關(guān)于的方程在區(qū)間上有唯一實(shí)數(shù)解？若存在，求的值；若不存在，說明理由.

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間是和，單調(diào)遞增區(qū)間是

（2）存在，

【解析】

（1）根據(jù)題意單調(diào)，求導(dǎo)，令，分，兩者情況討論求解.

（2）先求時(shí)，的根，得到區(qū)間，當(dāng)時(shí)，求導(dǎo) ，討論，時(shí)，，當(dāng)且，利用等比數(shù)列求和公式得到，分析得，得到在R上是減函數(shù)，再論證，，利用零點(diǎn)存在定理得到結(jié)論.

（1）因?yàn)?/span>，

所以，，

令，

，

當(dāng)時(shí)，，，所以在R上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，方程有兩個(gè)不等根，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以在遞減，在上遞增.

綜上：當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間是，

當(dāng)時(shí)， 的減區(qū)間是，，增區(qū)間是.

（2）存在，對于任意，關(guān)于的方程在區(qū)間上有唯一實(shí)數(shù)解，理由如下：

當(dāng)時(shí)，，令，解得，

所以關(guān)于的方程有唯一實(shí)數(shù)解.

當(dāng)時(shí)，，，

若，則，

若，，

若且，，當(dāng)時(shí)，，所以

當(dāng)時(shí)，，所以，

故在R上是減函數(shù).

又，

，

，

，

所以方程在區(qū)間上有唯一實(shí)數(shù)解.

綜上：對于任意，關(guān)于的方程在區(qū)間上有唯一實(shí)數(shù)解，所以.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為A，過的直線與y軸交于點(diǎn)M，滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），且直線l與直線之間的距離為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）在直線上是否存在點(diǎn)P，滿足？存在，指出有幾個(gè)這樣的點(diǎn)（不必求出點(diǎn)的坐標(biāo)）；若不存在，請說明理由.

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【題目】已知拋物線，直線過焦點(diǎn)且與拋物線交于、兩點(diǎn)，當(dāng)直線的傾斜角為30°時(shí)，．

（1）求拋物線方程．

（2）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在定點(diǎn)，當(dāng)直線繞旋轉(zhuǎn)時(shí)始終都滿足平分．若存在，求出的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

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【題目】一對夫婦為了給他們的獨(dú)生孩子支付將來上大學(xué)的費(fèi)用，從孩子一周歲生日開始，每年到銀行儲(chǔ)蓄元一年定期，若年利率為保持不變，且每年到期時(shí)存款（含利息）自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年定期，當(dāng)孩子18歲生日時(shí)不再存入，將所有存款（含利息）全部取回，則取回的錢的總數(shù)為　　

A.B.

C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，橢圓的離心率為，以橢圓的上頂點(diǎn)為圓心作圓，

，圓與橢圓在第一象限交于點(diǎn),在第二象限交于點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）求的最小值，并求出此時(shí)圓的方程；

（3）設(shè)點(diǎn)是橢圓上異于的一點(diǎn)，且直線分別與軸交于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證:

為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】歐陽修《賣油翁》中寫道：(翁)乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌滴瀝之，自錢孔入，而錢不濕．已知銅錢是直徑為4 cm的圓面，中間有邊長為1 cm的正方形孔，若隨機(jī)向銅錢上滴一滴油(油滴整體落在銅錢內(nèi))，則油滴整體(油滴是直徑為0.2 cm的球)正好落入孔中的概率是_____．(不作近似計(jì)算)

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【題目】在①,②,③這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面的問題中,并解決該問題.

已知的內(nèi)角,,的對邊分別為,,______________,,,求的面積.

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【題目】2018年反映社會(huì)現(xiàn)實(shí)的電影《我不是藥神》引起了很大的轟動(dòng)，治療特種病的創(chuàng)新藥研發(fā)成了當(dāng)務(wù)之急．為此，某藥企加大了研發(fā)投入，市場上治療一類慢性病的特效藥品的研發(fā)費(fèi)用（百萬元）和銷量（萬盒）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：

研發(fā)費(fèi)用（百萬元）

2

3

6

10

13

15

18

21

銷量（萬盒）

1

1

2

2.5

3.5

3.5

4.5

6

（1）求與的相關(guān)系數(shù)精確到0.01，并判斷與的關(guān)系是否可用線性回歸方程模型擬合？（規(guī)定：時(shí)，可用線性回歸方程模型擬合）；

（2）該藥企準(zhǔn)備生產(chǎn)藥品的三類不同的劑型，，，并對其進(jìn)行兩次檢測，當(dāng)?shù)谝淮螜z測合格后，才能進(jìn)行第二次檢測．第一次檢測時(shí)，三類劑型，，合格的概率分別為，，，第二次檢測時(shí)，三類劑型，，合格的概率分別為，，．兩次檢測過程相互獨(dú)立，設(shè)經(jīng)過兩次檢測后，，三類劑型合格的種類數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望．

附：（1）相關(guān)系數(shù)

（2），，，．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2019年是新中國成立七十周年，新中國成立以來，我國文化事業(yè)得到了充分發(fā)展，尤其是黨的十八大以來，文化事業(yè)發(fā)展更加迅速，下圖是從2013 年到 2018 年六年間我國公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù)（個(gè)）與對應(yīng)年份編號的散點(diǎn)圖（為便于計(jì)算，將 2013 年編號為 1，2014 年編號為 2，…，2018年編號為 6，把每年的公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)個(gè)數(shù)作為因變量，把年份編號從 1 到 6 作為自變量進(jìn)行回歸分析），得到回歸直線，其相關(guān)指數(shù)，給出下列結(jié)論，其中正確的個(gè)數(shù)是( )

①公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù)與年份的正相關(guān)性較強(qiáng)

②公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù)平均每年增加13.743個(gè)

③可預(yù)測 2019 年公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù)約為3192個(gè)

A.0B.1C.2D.3

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