Question

【題目】已知圓的圓心為，點(diǎn)是圓內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與半徑相交于點(diǎn).

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）給定點(diǎn)，設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)且與軌跡相交于，兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓過點(diǎn).證明：直線過定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)以及橢圓的定義，即可得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）根據(jù)圓的性質(zhì)得出，再將垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為，討論直線斜率的存在性，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理以及，得出，從而確定直線過定點(diǎn).

（1）如圖，由已知，圓心，半徑.

∵點(diǎn)在線段的垂直平分線上，則

又，∴

又∵，∴

則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長軸長的橢圓

從而，，，

故所求軌跡方程為.

（2）由已知，，則，

若的斜率不存在，設(shè)，由題設(shè)知，且

此時(shí)，，，，

則，解得，不符合題設(shè).

若的斜率存在，設(shè)

將代入得

由題設(shè)可知

設(shè)，，則，

，，從而

即

化簡得，解得（舍去）或

此時(shí)成立，于是

故直線過定點(diǎn).