【題目】已知拋物線y2=4x,點M(1,0)關(guān)于y軸的對稱點為N,直線l過點M交拋物線于A,B兩點.
(1)證明:直線NA,NB的斜率互為相反數(shù);
(2)求△ANB面積的最小值;
(3)當點M的坐標為(m,0),(m>0且m≠1).根據(jù)(1)(2)推測:△ABC面積的最小值是多少?(不必說明理由)
【答案】
(1)解:證明:設(shè)直線l的方程為y=k(x﹣1)(k≠0),
由 ,可得k2x2﹣(2k2+4)x+k2=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則 .
即有(y1y2)2=16x1x2=16,
可得y1y2=﹣4,N(﹣1,0),
kNA+kNB= + = + =
= =0.
又當l垂直于x軸時,點A,B關(guān)于x軸,顯然kNA+kNB=0,即kNA=﹣kNB.
綜上,直線NA,NB的斜率互為相反數(shù)
(2)解:S△ABN= |MN||y1﹣y2|=|y1﹣y2|
= = = .
當l垂直于x軸時,S△NAB=4,即有△ABN面積的最小值等于4
(3)解:推測:△ANB面積的最小值為4m
【解析】(1)設(shè)直線l的方程為y=k(x﹣1)(k≠0),代入拋物線的方程,運用韋達定理和直線的斜率公式,以及點滿足拋物線的方程,化簡整理,討論直線l的斜率不存在,即可得證;(2)求得S△ABN= |MN||y1﹣y2|,代入韋達定理,由不等式的性質(zhì)可得△ANB面積大于4;討論直線的斜率不存在時,面積為4,即可得到最小值;(3)由(1),(2)推測:△ANB面積的最小值為4m .
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)與y軸的交點為A,B(點A位于點B的上方),F(xiàn)為左焦點,原點O到直線FA的距離為 b.
(1)求橢圓C的離心率;
(2)設(shè)b=2,直線y=kx+4與橢圓C交于不同的兩點M,N,求證:直線BM與直線AN的交點G在定直線上.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若存在兩個正實數(shù)x、y,使得等式x+a(y﹣2ex)(lny﹣lnx)=0成立,其中e為自然對數(shù)的底數(shù),則實數(shù)a的取值范圍為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】袋中裝著標有數(shù)字1、2、3、4、5的小球各2個,從袋中任取3個小球,每個小球被取出的可能性都相等,用ξ表示取出的3個小球上的最大數(shù)字,求:
(1)取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的概率;
(2)隨機變量ξ的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于個黑球和個白球的任意排列(從左到右排成一行),則一定( 。
A. 存在一個白球,它右側(cè)的白球和黑球一樣多
B. 存在一個黑球,它右側(cè)的白球和黑球一樣多
C. 存在一個白球,它右側(cè)的白球比黑球少一個
D. 存在一個黑球,它右側(cè)的白球比黑球少一個
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將函數(shù)y=sin(x﹣ )的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),再將所得圖象向左平移 個單位,則所得函數(shù)圖象對應(yīng)的解析式為( )
A.y=sin( x﹣ )
B.y=sin(2x﹣ )
C.y=sin x
D.y=sin( x﹣ )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點列An(xn , 0),n∈N* , 其中x1=0,x2=1.A3是線段A1A2的中點,A4是線段A2A3的中點,…,An+2是線段AnAn+1的中點,…設(shè)an=xn+1﹣xn . (Ⅰ)寫出xn與xn﹣1、xn﹣2(n≥3)之間的關(guān)系式并計算a1 , a2 , a3;
(Ⅱ)猜想數(shù)列{an}的通項公式,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在數(shù)列{an}中,a1=1,a2= ,且an+1= (n≥2)
(1)求a3 , a4;
(2)猜想an的表達式,并加以證明.
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