【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中已知橢圓，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓與的離心率相同，且橢圓的外切矩形ABCD（兩組對邊分別平行于x軸、y軸）的頂點(diǎn)在橢圓上.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）設(shè)為橢圓上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B、C、D重合）.

①若直線：，求證：直線l與橢圓相交；

②記①中的直線l與橢圓C1的交點(diǎn)為S、T，求證的面積為定值.

【答案】（1）（2）①證明見解析②證明見解析

【解析】

（1）由于離心率相同可設(shè)方程為.代入矩形頂點(diǎn)坐標(biāo)可求得，得方程；

（2）①直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消元后計(jì)算，同時驗(yàn)證在的直線與橢圓也是相交的，證得結(jié)論；

②設(shè)，由弦長公式得計(jì)算出弦長，再求出到直線的距離，計(jì)算面積即可得．

（1）依題意設(shè)橢圓的方程為.

因?yàn)闄E圓的外切矩形ABCD的四個頂點(diǎn)為，

將點(diǎn)代入方程中，得，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）①聯(lián)立，消去y得

.

因?yàn)?/span>為橢圓上一點(diǎn)，

所以

從而，

則.

特別地，當(dāng)時，，

此時直線與橢圓也相交，

所以直線與橢圓相交.

②設(shè)

由①，

知

，從而

又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離

，

所以，

所以的面積為定值.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知在三棱臺中，，，平面．

（1）證明；

（2）若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)在上單調(diào)，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，若數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，且，則的前100項(xiàng)的和為（ ）

A. 300B. 100C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， .

（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）當(dāng)時，求在區(qū)間上的最大值和最小值；

（3）當(dāng)時，若方程在區(qū)間上有唯一解，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線C：y2＝2px（0＜p＜8）的焦點(diǎn)為F點(diǎn)Q是拋物線C上的一點(diǎn)，且點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為4，點(diǎn)Q到焦點(diǎn)的距離為5．

（1）求拋物線C的方程；

（2）設(shè)直線l不經(jīng)過Q點(diǎn)且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，QA，QB的斜率分別為K1，K2，若K1K2＝﹣2，求證：直線AB過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在傳染病學(xué)中，通常把從致病刺激物侵人機(jī)體或者對機(jī)體發(fā)生作用起，到機(jī)體出現(xiàn)反應(yīng)或開始呈現(xiàn)該疾病對應(yīng)的相關(guān)癥狀時止的這一階段稱為潛伏期. 一研究團(tuán)隊(duì)統(tǒng)計(jì)了某地區(qū)1000名患者的相關(guān)信息，得到如下表格：

潛伏期（單位：天）

人數(shù)

（1）求這1000名患者的潛伏期的樣本平均數(shù)x (同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表) ；

（2）該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響，為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系，以潛伏期是否超過6天為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層抽樣，從上述1000名患者中抽取200人，得到如下列聯(lián)表.請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認(rèn)為潛伏期與患者年齡有關(guān)；

潛伏期天

潛伏期天

總計(jì)

歲以上（含歲）

歲以下

總計(jì)

（3）以這1000名患者的潛伏期超過6天的頻率，代替該地區(qū)1名患者潛伏期超過6天發(fā)生的概率，每名患者的潛伏期是否超過6天相互獨(dú)立，為了深入研究，該研究團(tuán)隊(duì)隨機(jī)調(diào)查了20名患者，其中潛伏期超過6天的人數(shù)最有可能（即概率最大）是多少？

附：

，其中.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線的準(zhǔn)線方程為．

（1）求p的值；

（2）過拋物線C的焦點(diǎn)的直線l交拋物線C于點(diǎn)A，B，交拋物線C的準(zhǔn)線于點(diǎn)P，若A為線段PB的中點(diǎn)，求線段AB的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）在所給的坐標(biāo)紙上作出函數(shù)的圖像（不要求寫出作圖過程）；

（2）令， 求函數(shù)的定義域及不等式的解集.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若曲線與直線有且只有一個公共點(diǎn)，求證：．（參考數(shù)據(jù)：）

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