【題目】已知拋物線C:y2=2px(0<p<8)的焦點(diǎn)為F點(diǎn)Q是拋物線C上的一點(diǎn),且點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為4,點(diǎn)Q到焦點(diǎn)的距離為5.
(1)求拋物線C的方程;
(2)設(shè)直線l不經(jīng)過Q點(diǎn)且與拋物線交于A,B兩點(diǎn),QA,QB的斜率分別為K1,K2,若K1K2=﹣2,求證:直線AB過定點(diǎn),并求出此定點(diǎn).
【答案】(1)y2=4x;(2)見解析,定點(diǎn)(6,﹣4)
【解析】
(1)由拋物線的性質(zhì)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離,設(shè)的坐標(biāo),由題意可得的值,進(jìn)而求出拋物線的方程;
(2)設(shè)直線的方程與拋物線聯(lián)立,求出兩根之和及兩根之積,進(jìn)而求出直線,的斜率之積,由題意可得參數(shù)之間的關(guān)系,進(jìn)而求出直線恒過的定點(diǎn),注意直線不過,所以求出符合題意的定點(diǎn)的坐標(biāo).
解:(1)由題意,,直線方程為,由拋物線的性質(zhì),到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離,
由題意可得,解得或8,由題意可得,
所以拋物線的方程為:;
(2)由題意設(shè)直線的方程為:,設(shè),,,,
聯(lián)立直線與拋物線的方程可得,整理可得,
則,①
由(1)可得可得,
即,
即,
整理可得,
將①代入可得:,即,
所以,或,
即,或,
所以直線的方程為:,即恒過,
或者即恒過,
而由題意可得直線不過,
可證得直線 恒過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)為正方形邊上異于點(diǎn),的動點(diǎn),將沿翻折成,在翻折過程中,下列說法正確的是( )
A.存在點(diǎn)和某一翻折位置,使得
B.存在點(diǎn)和某一翻折位置,使得平面
C.存在點(diǎn)和某一翻折位置,使得直線與平面所成的角為45°
D.存在點(diǎn)和某一翻折位置,使得二面角的大小為60°
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某總公司在A,B兩地分別有甲、乙兩個下屬公司同種新能源產(chǎn)品(這兩個公司每天都固定生產(chǎn)50件產(chǎn)品),所生產(chǎn)的產(chǎn)品均在本地銷售.產(chǎn)品進(jìn)人市場之前需要對產(chǎn)品進(jìn)行性能檢測,得分低于80分的定為次品,需要返廠再加工;得分不低于80分的定為正品,可以進(jìn)人市場.檢測員統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩個下屬公司100天的生產(chǎn)情況及每件產(chǎn)品盈利虧損情況,數(shù)據(jù)如表所示:
表1
甲公司 | 得分 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
件數(shù) | 10 | 10 | 40 | 40 | 50 | |
天數(shù) | 10 | 10 | 10 | 10 | 80 |
表2
甲公司 | 得分 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
件數(shù) | 10 | 5 | 40 | 45 | 50 | |
天數(shù) | 20 | 10 | 20 | 10 | 70 |
表3
每件正品 | 每件次品 | |
甲公司 | 盈2萬元 | 虧3萬元 |
乙公司 | 盈3萬元 | 虧3.5萬元 |
(1)分別求甲、乙兩個公司這100天生產(chǎn)的產(chǎn)品的正品率(用百分?jǐn)?shù)表示).
(2)試問甲、乙兩個公司這100天生產(chǎn)的產(chǎn)品的總利潤哪個更大?說明理由.
(3)若以甲公司這100天中每天產(chǎn)品利潤總和對應(yīng)的頻率作為概率,從甲公司這100天隨機(jī)抽取1天,記這天產(chǎn)品利潤總和為X,求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的圖象與直線相切,是的導(dǎo)函數(shù),且.
(1)求;
(2)函數(shù)的圖象與曲線關(guān)于軸對稱,若直線與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點(diǎn),求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列滿足如下條件:①;②若數(shù)列滿足其中則稱為的“伴隨數(shù)列”.
(I)數(shù)列是否存在“伴隨數(shù)列”,若存在,寫出其“伴隨數(shù)列”;若不存在,請說明理由;
(II)若為的“伴隨數(shù)列”,證明:;
(III)已知數(shù)列存在“伴隨數(shù)列”且求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中已知橢圓,焦點(diǎn)在x軸上的橢圓與的離心率相同,且橢圓的外切矩形ABCD(兩組對邊分別平行于x軸、y軸)的頂點(diǎn)在橢圓上.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)設(shè)為橢圓上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A、B、C、D重合).
①若直線:,求證:直線l與橢圓相交;
②記①中的直線l與橢圓C1的交點(diǎn)為S、T,求證的面積為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙、丙三人投籃的命中率各不相同,其中乙的命中率是甲的2倍,丙的命中率等于甲與乙的命中率之和.若甲與乙各投籃一次,每人投籃相互獨(dú)立,則他們都命中的概率為0.18.
(1)求甲、乙、丙三人投籃的命中率;
(2)現(xiàn)要求甲、乙、丙三人各投籃一次,假設(shè)每人投籃相互獨(dú)立,記三人命中總次數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】十五巧板,又稱益智圖,為清朝浙江省德清知縣童葉庚在同治年間所發(fā)明,它能拼出草木、花果、鳥獸、魚蟲、文字等圖案.十五巧板由十五塊板組成一個大正方形(如圖1),其中標(biāo)號為的小板為等腰直角三角形,圖是用十五巧板拼出的2019年生肖豬的圖案,則從生肖豬圖案中任取一點(diǎn),該點(diǎn)恰好取自陰影部分的概率為( )
A.B.C.D.
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【題目】如圖,在三棱臺中,,.若點(diǎn)為的中點(diǎn),點(diǎn)為靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)若三棱臺的體積為,求三棱錐的體積.
注:臺體體積公式:,或在分別為臺體上下底面積,為臺體的高.
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