Question

【題目】如圖，過點E（1，0）的直線與圓O：x2+y2=4相交于A、B兩點，過點C（2，0）且與AB垂直的直線與圓O的另一交點為D．
（1）當點B坐標為（0，﹣2）時，求直線CD的方程；
（2）求四邊形ABCD面積S的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當B（0，﹣2）時，直線AB的斜率為 ，

∵CD與AB垂直，∴直線CD的斜率為﹣ ，

∴直線CD的方程為y=﹣ （x﹣2），即x+2y﹣2=0．

（2）解：當直線AB與x軸垂直時，AB=2 ，CD=4，

∴四邊形ACBD的面積S= ，

當直線AB與x軸不垂直時，設直線AB方程為y=k（x﹣1），

即kx﹣y﹣k=0，

則直線CD方程為y=﹣ ，即x+ky﹣2=0，

點O到直線AB的距離為 ，

∴AB=2 =2 ，

CD=2 =4 ，

則四邊形ACBD面積S= = =4 ，

令k2+1=t＞1（當k=0時，四邊形ACBD不存在），

∴ =4 ∈（0，4 ），

∴四邊形ABCD面積S的最大值為4 ．

【解析】（1）當B（0，﹣2）時，直線AB的斜率為2，由CD與AB垂直，直線CD的斜率為﹣ ，由此能求出直線CD的方程．（2）當直線AB與x軸垂直時，AB=2 ，CD=4，四邊形ACBD的面積，當直線AB與x軸不垂直時，設直線AB方程為kx﹣y﹣k=0，則直線CD方程為x+ky﹣2=0，求出點O到直線AB的距離，從而得到弦長AB和CD，由此利用配方法能求出四邊形ACBD面積的最大值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與圓的三種位置關系(直線與圓有三種位置關系：無公共點為相離；有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點)．