【題目】【2017湖南長(zhǎng)沙二!已知函數(shù).

1證明:,直線都不是曲線的切線;

2,使成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】1見(jiàn)解析;2.

【解析】試題分析:1若直線與曲線相切,因直線過(guò)定點(diǎn),若設(shè)切點(diǎn)則可得①,又,上單調(diào)遞增,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),①成立,這與矛盾,結(jié)論得證.

2可轉(zhuǎn)化為,令,,分類(lèi)討論求的最小值即可.

試題解析:1的定義域?yàn)?/span>,,直線過(guò)定點(diǎn),若直線與曲線相切于點(diǎn),則,即①,設(shè),則,所以上單調(diào)遞增,又,從而當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),①成立,這與矛盾.

所以,,直線都不是曲線的切線;

2,令,

,使成立

.

i當(dāng)時(shí),上為減函數(shù),于是,由,滿(mǎn)足,所以符合題意;

ii當(dāng)時(shí),由的單調(diào)性知上為增函數(shù),所以,即.

①若,即,則,所以為增函數(shù),于是,不合題意;

②若,即,則由的單調(diào)性知存在唯一,使,且當(dāng)時(shí),,為減函數(shù);當(dāng)時(shí),為增函數(shù);

所以,由,這與矛盾,不合題意.

綜上可知,的取值范圍是.

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