【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x3﹣6x+5,x∈R.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)求曲線f(x)過(guò)點(diǎn)(1,0)的切線方程.
【答案】
(1)解:f'(x)=3(x2﹣2),
令f'(x)=0,得 ,
∴當(dāng) 或 時(shí),f'(x)>0;
當(dāng) 時(shí),f'(x)<0,
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 和 ,
單調(diào)遞減區(qū)間是 ;
當(dāng)x=﹣ ,f(x)有極大值5+4 ;當(dāng)x= ,f(x)有極小值5﹣4
(2)解:設(shè)切點(diǎn)為(m,n),
則切線的斜率為3(m2﹣2),
切線的方程為y﹣(m3﹣6m+5)=3(m2﹣2)(x﹣m),
代入(1,0),可得﹣(m3﹣6m+5)=3(m2﹣2)(1﹣m),
化為(m﹣1)2(2m+1)=0,
解得m=1或m=﹣ ,
則斜率為﹣3或﹣ ,
可得切線的方程為y=﹣3x+3或y=﹣ x+
【解析】(1)求導(dǎo)f(x)導(dǎo)數(shù),可得極值點(diǎn),導(dǎo)數(shù)大于0可得增區(qū)間;導(dǎo)數(shù)小于0可得減區(qū)間;進(jìn)而得到極值;(2)設(shè)切點(diǎn)為(m,n),可得切線的斜率,切線方程,代入(1,0),解方程可得切點(diǎn),進(jìn)而得到所求切線方程.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某單位共有10名員工,他們某年的收入如下表:
員工編號(hào) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
年薪(萬(wàn)元) | 4 | 4.5 | 6 | 5 | 6.5 | 7.5 | 8 | 8.5 | 9 | 51 |
(1)求該單位員工當(dāng)年年薪的平均值和中位數(shù);
(2)從該單位中任取2人,此2人中年薪收入高于7萬(wàn)的人數(shù)記為,求的分布列和期望;
(3)已知員工年薪收入與工作年限成正相關(guān)關(guān)系,某員工工作第一年至第四年的年薪分別為4萬(wàn)元,5.5萬(wàn)元,6萬(wàn)元,8.5萬(wàn)元,預(yù)測(cè)該員工第五年的年薪為多少?
附:線性回歸方程中系數(shù)計(jì)算公式分別為:
, ,其中為樣本均值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,點(diǎn)E在線段PC上,PC⊥平面BDE.
(1)證明:BD⊥平面PAC;
(2)若PA=1,AD=2,求二面角B﹣PC﹣A的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)y= 的圖象上存在兩點(diǎn)P,Q,使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),且斜邊的中點(diǎn)恰好在y軸上,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx.
(1)求函數(shù)g(x)=f(x+1)﹣x的最大值;
(2)若對(duì)任意x>0,不等式f(x)≤ax≤x2+1恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若x1>x2>0,求證: > .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+2ax+2,x∈[﹣5,5].
(1)當(dāng)a=﹣1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍,使y=f(x)在區(qū)間[﹣5,5]上是單調(diào)函數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】【2017廣東佛山二!已知橢圓:()的焦距為4,左、右焦點(diǎn)分別為、,且與拋物線:的交點(diǎn)所在的直線經(jīng)過(guò).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)分別過(guò)、作平行直線、,若直線與交于,兩點(diǎn),與拋物線無(wú)公共點(diǎn),直線與交于,兩點(diǎn),其中點(diǎn),在軸上方,求四邊形的面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】【2017湖南長(zhǎng)沙二模】已知函數(shù),.
(1)證明:,直線都不是曲線的切線;
(2)若,使成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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