Question

【題目】如圖，在中，，是的中點(diǎn)，是線段上的一點(diǎn)，且，，將沿折起使得二面角是直二面角．

（l）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正切值.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】分析：（l）由勾股定理可得，結(jié)合是的中點(diǎn)可得，根據(jù)線面平行的判定定理可得平面；（2）據(jù)題設(shè)分析知，兩兩互相垂直，以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量，利用向量垂直數(shù)量積為零，列方程求出平面的一個(gè)法向量，由空間向量夾角余弦公式求出直線與平面所成角的正弦值，進(jìn)而可得結(jié)果.

詳解：(1)因?yàn)?/span>，所以

又，，

所以

又因?yàn)?/span>

所以是的斜邊上的中線，所以是的中線，

所以是的中點(diǎn)，

又因?yàn)?/span>是的中位線，

所以

又因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面.

（2）據(jù)題設(shè)分析知，兩兩互相垂直，以為原點(diǎn)，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

因?yàn)?/span>，且分別是的中點(diǎn)，

所以，

所以有點(diǎn)，

所以，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則

即，所以

令，則

設(shè)直線與平面所成角的大小為，則.

又，所以，

所以.

故直線與平面所成角的正切值為.