Question

已知向量

a

=（-cosx，sinx），

b

=（cosx，cosx），設(shè)f（x）=

a

•

b

+1，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，并結(jié)合二倍角公式和輔助角公式，得到f（x）=

2

2

sin（2x-

π

4

）-

1

2

，然后，借助于周期公式進(jìn)行求解；
（2）直接結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．

解答： 解：（1）∵

a

=（-cosx，sinx），

b

=（cosx，cosx），
∴f（x）=

a

•

b

+1
=sinxcosx-cos²x
=

2

2

sin（2x-

π

4

）-

1

2

，
∴f（x）=

2

2

sin（2x-

π

4

）-

1

2

，
∴T=

2π

2

=π，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期π；
（2）∵f（x）=

2

2

sin（2x-

π

4

）-

1

2

，
∴

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，
∴

3π

8

+kπ≤x≤

7π

8

+kπ，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間[

3π

8

+kπ，

7π

8

+kπ]，（k∈Z）．

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換等公式、輔助角公式等知識，屬于中檔題．