Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， a1=1，an+1=λSn+1（n∈N*，λ≠﹣1），且a1、2a2、a3+3成等差數(shù)列．
（1）求證：數(shù)列{an}為等比數(shù)列；
（2）設(shè)bn=2an﹣1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵an+1=λSn+1（n∈N*），∴an=λSn﹣1+1（n≥2），

∴an+1﹣an=λan，即an+1=（λ+1）an（n≥2），λ+1≠0，

又a1=1，a2=λS1+1=λ+1，

∴數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，公比為λ+1的等比數(shù)列

（2）解：∵ ，且a1、2a2、a3+3成等差數(shù)列．

∴4（λ+1）=1+（λ+1）2+3，整理得λ2﹣2λ+1=0，得λ=1，

∴ ．

∴ ，

∴ ，= =2n+1﹣2﹣n．

【解析】（1）an+1=λSn+1（n∈N*），可得an=λSn﹣1+1（n≥2），相減可得：an+1=（λ+1）an（n≥2），λ+1≠0，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．（2）由 ，且a1、2a2、a3+3成等差數(shù)列．可得4（λ+1）=1+（λ+1）2+3，解得λ=1，可得an，進(jìn)而得到bn．再利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．
【考點(diǎn)精析】利用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．