【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,,以為圓心過橢圓左頂點的圓與直線相切于,且滿足.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)過橢圓右焦點的直線與橢圓交于不同的兩點,,問內(nèi)切圓面積是否有最大值?若有,求出最大值;若沒有,說明理由.
【答案】(1);(2)有,最大值
【解析】
(1)由已知可得到直線的距離等于,結(jié)合,建立方程組,求解即可得出橢圓的標準方程;
(2)即求內(nèi)切圓的半徑是否有最大值,因為周長為,轉(zhuǎn)化為的面積是否有最大值,設,則,再設出直線的方程為,與橢圓方程聯(lián)立,得出關系,表示為的函數(shù),根據(jù)其特征求出范圍,即可得出結(jié)論.
(1)由已知橢圓方程為,
設橢圓右焦點,由到直線的距離等于,
得,,
又,,
又,求得,.
橢圓方程為,
(2)設,,設的內(nèi)切圓半徑為,
的周長為,
所以,
根據(jù)題意,直線的斜率不為零,可設直線的方程為,
由,得,
,,
,,
所以,
令,則,所以,
令,則當時,,
單調(diào)遞增,所以,,
即當,,直線的方程為時,
的最大值為3,此時內(nèi)切圓半徑最大,
內(nèi)切圓面積有最大值.
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【題目】已知無窮數(shù)列的前項中的最大項為,最小項為,設.
(1)若,求數(shù)列的通項公式;
(2)若,求數(shù)列的前項和;
(3)若數(shù)列是等差數(shù)列,求證:數(shù)列是等差數(shù)列.
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【題目】已知曲線:與曲線:交于,兩點,且的周長為.
(Ⅰ)求曲線的方程.
(Ⅱ)設過曲線焦點的直線與曲線交于,兩點,記直線,的斜率分別為,.求證:為定值.
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【題目】已知拋物線:的焦點為,直線與拋物線交于,兩點.
(1)若過點,證明:;
(2)若,點在曲線上,,的中點均在拋物線上,求面積的取值范圍.
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【題目】已知雙曲線,不與軸垂直的直線與雙曲線右支交于點,,(在軸上方,在軸下方),與雙曲線漸近線交于點,(在軸上方),為坐標原點,下列選項中正確的為( )
A.恒成立
B.若,則
C.面積的最小值為1
D.對每一個確定的,若,則的面積為定值
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【題目】如圖,已知為拋物線上一點,斜率分別為,的直線PA,PB分別交拋物線于點A,B(不與點P重合).
(1)證明:直線AB的斜率為定值;
(2)若△ABP的內(nèi)切圓半徑為.
(i)求△ABP的周長(用k表示);
(ii)求直線AB的方程.
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【題目】我國唐代天文學家、數(shù)學家張逐曾以“李白喝酒”為題編寫了如下一道題:“李白街上走,提壺去買酒,遇店加一倍,見花喝一斗(計量單位),三遇店和花,喝光壺中酒.”問最后一次遇花時有酒________斗,原有酒________斗.
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【題目】設函數(shù),.
(1)討論在上的單調(diào)性;
(2)當時,若存在正實數(shù),使得對,都有,求實數(shù)的取值范圍.
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