【題目】數(shù)列{bn}的前n項和為Sn , 且對任意正整數(shù)n,都有 ;
(1)試證明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,并求其通項公式;
(2)如果等比數(shù)列{an}共有2017項,其首項與公比均為2,在數(shù)列{an}的每相鄰兩項ai與ai+1之間插入i個(﹣1)ibi(i∈N*)后,得到一個新數(shù)列{cn},求數(shù)列{cn}中所有項的和;
(3)如果存在n∈N* , 使不等式 成立,若存在,求實數(shù)λ的范圍,若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)證明:n=1時,b1=1;n≥2時,bn=Sn﹣Sn﹣1= ﹣ =n.n=1時也成立.
∴bn=n為等差數(shù)列,首項與公差都為1
(2)解:通過題意,易得數(shù)列{an}的通項公式為an=2n,
當(dāng)m=2k﹣1(k≥2,k∈N*)時,
數(shù)列{cn}共有(2k﹣1)+1+2+…+(2k﹣2)=k(2k﹣1)項,
其所有項的和為Sk(2k﹣1)=(2+22+…+22k﹣1)+[﹣1+22﹣32+42﹣…﹣(2k﹣3)2+(2k﹣2)2]
=2(22k﹣1﹣1)+[3+7+…+(4k﹣5)]
=22k﹣2+(2k﹣1)(k﹣1)
= m(m﹣1)+2m+1﹣2.
∴m=2017時,數(shù)列{cn}中所有項的和=22018+2033134
(3)不等式 ,
即不等式(n+1) ≤(n+1)λ≤ ,
化為:f(n)= ≤λ≤1+ =g(n).
∵f(n)≥f(3)=5+ ,g(n)≤g(1)=6.而n=1,2,3時不等式不成立.
n≥4時,f(n)≥f(n)=6,g(n)<6.因此不存在n∈N*,
使不等式 成立
【解析】(1)n=1時,b1=1;n≥2時,bn=Sn﹣Sn﹣1=n,即可證明.(2)通過題意,易得數(shù)列{an}的通項公式為an=2n,
當(dāng)m=2k﹣1(k≥2,k∈N*)時,數(shù)列{cn}共有(2k﹣1)+1+2+…+(2k﹣2)=k(2k﹣1)項,
其所有項的和為Sk(2k﹣1)=(2+22+…+22k﹣1)+[﹣1+22﹣32+42﹣…﹣(2k﹣3)2+(2k﹣2)2]= m(m﹣1)+2m+1﹣2.取m=2017時,可得數(shù)列{cn}中所有項的和.(3)不等式 ,即不等式(n+1) ≤(n+1)λ≤ ,化為:f(n)= ≤λ≤1+ =g(n).通過驗證:n=1,2,3時不等式不成立.n≥4時,f(n)≥f(n)=6,g(n)<6.即可得出結(jié)論.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】解不等式( )x﹣x+ >0時,可構(gòu)造函數(shù)f(x)=( )x﹣x,由f(x)在x∈R是減函數(shù),及f(x)>f(1),可得x<1.用類似的方法可求得不等式arcsinx2+arcsinx+x6+x3>0的解集為( )
A.(0,1]
B.(﹣1,1)
C.(﹣1,1]
D.(﹣1,0)
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 , AB=a,AA1=2a,E,F(xiàn)分別是棱AD,CD的中點.
(1)求異面直線BC1與EF所成角的大;
(2)求四面體CA1EF的體積.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】曲線C是平面內(nèi)到直線l1:x=﹣1和直線l2:y=1的距離之積等于常數(shù)k2(k>0)的點的軌跡,下列四個結(jié)論:
①曲線C過點(﹣1,1);
②曲線C關(guān)于點(﹣1,1)成中心對稱;
③若點P在曲線C上,點A、B分別在直線l1、l2上,則|PA|+|PB|不小于2k;
④設(shè)P0為曲線C上任意一點,則點P0關(guān)于直線l1:x=﹣1,點(﹣1,1)及直線f(x)對稱的點分別為P1、P2、P3 , 則四邊形P0P1P2P3的面積為定值4k2;其中,
所有正確結(jié)論的序號是 .
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)f(x)=ax2﹣4x+c的值域為[0,+∞).
(1)判斷此函數(shù)的奇偶性,并說明理由;
(2)判斷此函數(shù)在[ ,+∞)的單調(diào)性,并用單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論;
(3)求出f(x)在[1,+∞)上的最小值g(a),并求g(a)的值域.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一個特定時段內(nèi),以點E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域.點E正北55海里處有一個雷達觀測站A.某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東45°且與點A相距40 海里的位置B,經(jīng)過40分鐘又測得該船已行駛到點A北偏東45°+θ(其中sinθ= ,0°<θ<90°)且與點A相距10 海里的位置C. (Ⅰ)求該船的行駛速度(單位:海里/小時);
(Ⅱ)若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷它是否會進入警戒水域,并說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將函數(shù)y=sin(x+ )cos(x+ )的圖象沿x軸向右平移 個單位后,得到一個偶函數(shù)的圖象,則φ的取值不可能是( )
A.
B.﹣
C.
D.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com