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奇函數f(x)=
ax2+bx+1
cx+d
 (x≠0,a>1)
,且當x>0時,f(x)有最小值2
2
,又f(1)=3.
(1)求f(x)的表達式;
(2)設g(x)=xf(x),正數數列{an}中,a1=1,an+12=g(an),求數列{an}的通項公式;
(3)設h(x)=
1
2
f(x)-
3
2x
,數列{bn}中b1=m(m>0),bn+1=h(bn)(n∈N*).是否存在常數m使bn•bn+1>0對任意n∈N*恒成立.若存在,求m的取值范圍,若不存在,說明理由.
分析:(1)根據f(1)=3,以及f(x)為奇函數可求出b的值,然后根據當x>0時,f(x)有最小值2
2
,可求出c的值,從而求出函數的解析式;
(2)根據an+12=g(an)可證得{an2+1}為等比數列,其首項為a12+1=2,公比為2,從而求出數列{an}的通項公式;
(3)假設存在正實數m,對任意n∈N*,使bn•bn+1>0恒成立,然后根據放縮法可得bn=b1-(
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
)<b1-
n-1
b1
,取n>1+b12,即n>m2+1時,有bn<0與bn>0矛盾,從而得到結論.
解答:解(1)f(1)=3即
a+b+1
c+d
=3,a+b+1=3c+3d

∵是奇函數;
f(-x)=
ax2-bx+1
-cx+d
=-f(x)=
ax2+bx+1
-cx-d
(ax2-bx+1)(cx+d)=(cx-d)(ax2+bx+1)⇒
ad=bc
d=0

又可知和不能同時為0
故b=0
a+b+1=3c+3d,
a+1=3c⇒a=3c-1⇒c>
2
3

f(x)=
(3c-1)x2+1
cx
=
3c-1
c
x+
1
cx
≥2
3c-1
c
1
c

當x>0時,f(x)有最大值2
2

2
3c-1
c
1
c
=2
2
2c2-3c+1=0⇒c=1或c=
1
2
(<
2
3
)(舍去)

f(x)=
2x2+1
x

(2)∵g(x)=2x2+1
∴an+12=2an2+1⇒an+12+1=2(an2+1)
∴{an2+1}為等比數列,其首項為a12+1=2,公比為2
∴an2+1=(a12+1)•2n-1=2n
a
2
n
=2n-1⇒
a
 
n
=
2n-1

(3)由題h(x)=
1
2
(
2x2+1
x
)-
3
2x
=
2x2-2
2x
=x-
1
x

bn+1=bn-
1
bn

假設存在正實數m,對任意n∈N*,使bn•bn+1>0恒成立.
∵b1=m>0
∴bn>0恒成立.
bn+1-bn=-
1
bn
<0∴0<bn+1bn

1
bn+1
1
bn
>…>
1
b1

bn-bn-1=-
1
bn-1
,bn-1-bn-2=
1
bn-2
b2-b1=-
1
b1

bn=b1-(
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
)<b1-
n-1
b1

取n>1+b12,即n>m2+1時,有bn<0與bn>0矛盾.
因此,不存在正實數m,使bn•bn+1>0對n∈N*恒成立.
點評:本題主要考查了函數的解析式,以及函數的奇偶性和恒成立問題,同時考查了數列的綜合運用,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

下列說法不正確的序號是
 

(1)函數y=
ax-a-x
2
(a>0,a≠1)是奇函數;
(2)函數f(x)=
(ax+1)x
ax-1
(a>0,a≠1)是偶函數;
(3)若f(x)=3x,則f(x+y)=f(x)f(y);
(4)若f(x)=ax(a>0,a≠1),且x1≠x2,則
1
2
[f(x1)+f(x2)]<f(
x1+x2
2
)

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知奇函數f(x)=
ax+b
x2+1
在(-1,1)上是增函數,且f(
1
2
)=
2
5

①確定函數f(x)的解析式.
②解不等式f(t-1)+f(t)<0.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=ax-
b
x
,其中a、b為非零實數,f(
1
2
)=-
1
2
,f(2)=
7
4

(1)判斷函數的奇偶性,并求a、b的值;
(2)用定義證明f(x)在(0,+∞)上是增函數.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知定義在(-1,1)上的奇函數f(x)=
ax+b
x2+1
是增函數,且f(
1
2
)=
2
5

(Ⅰ)求函數f(x)的解析式;
(Ⅱ)解不等式f(t-1)+f(2t)<0.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

已知奇函數f(x)=
ax+b
x2+1
在(-1,1)上是增函數,且f(
1
2
)=
2
5

①確定函數f(x)的解析式.
②解不等式f(t-1)+f(t)<0.

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