Question

已知函數(shù)f(x)=ax-

b

x

，其中a、b為非零實(shí)數(shù)，f(

1

2

)=-

1

2

，f(2)=

7

4

（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并求a、b的值；
（2）用定義證明f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）求得含水度厄定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足f（-x）=-f（x），從而得到函數(shù)為奇函數(shù)．
（2）由（1）得f(x)=x-

1

2x

，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

解答：解：（1）函數(shù)定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0．+∞），
由f(-x)=a(-x)-

b

-x

=-(ax-

a

x

)=-f(x)得，函數(shù)為奇函數(shù)．--------（3分）
由f(

1

2

)=-

1

2

，f(2)=

7

4

，可得

1

2

a-2b=-

1

2

，2a-

1

2

b=

7

4

，
解得a=1，b=

1

2

．---------（6分）
（2）證明：由（1）得f(x)=x-

1

2x

，設(shè)任意x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=x1-

1

2x1

-(x2-

1

2x2

)=(x1-x2)+(

1

2x2

-

1

2x1

)
=(x1-x2)+

x1-x2

2x1x2

=(x1-x2)(1+

1

2x1x2

)．----------（8分）
因?yàn)閤₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，即1+

1

2x1x2

＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．---------（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷方法，用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．