【題目】已知函數(shù)f(x)= 過(guò)點(diǎn)(1,e).
(1)求y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)x>0時(shí),求 的最小值;
(3)試判斷方程f(x)﹣mx=0(m∈R且m為常數(shù))的根的個(gè)數(shù).

【答案】
(1)解:∵函數(shù)f(x)= 過(guò)點(diǎn)(1,e).得e1+b=e,可得b=0,

∴f(x)= (x≠0),f′(x)= ,令f′(x)>0,得x>1,令f′(x)<0,得0<x<1或x<0,

y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間是[1,+∞),單調(diào)減區(qū)間是(﹣∞,0).(0,1)


(2)解:設(shè)g(x)= = ,(x>0),g′(x)= ,令g′(x)=0,解得x=2,

x∈(0,2)時(shí),g′(x)<0,x∈(2,+∞)時(shí),g′(x)>0,

∴g(x)在區(qū)間(0,2)上遞減,在(2,+∞)遞增,

的最小值為g(2)=


(3)解:方程f(x)﹣mx=0(m∈R且m為常數(shù))m= =g(x)

g′(x)= ,易知x<0時(shí),g′(x)>0.

結(jié)合(2)可得函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,2)上遞減,在(﹣∞,0),(2,+∞)遞增.

原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=m與y=g(x)交點(diǎn)個(gè)數(shù),其圖象如下:

當(dāng)m≤0時(shí),方程f(x)﹣mx=0(m∈R且m為常數(shù))的根的個(gè)數(shù)為0;

當(dāng)0<m< 時(shí),方程f(x)﹣mx=0(m∈R且m為常數(shù))的根的個(gè)數(shù)為1;

當(dāng)m= 時(shí),方程f(x)﹣mx=0(m∈R且m為常數(shù))的根的個(gè)數(shù)為2;

當(dāng)m 時(shí),方程f(x)﹣mx=0(m∈R且m為常數(shù))的根的個(gè)數(shù)為3;


【解析】(1)依題意得e1+b=e,可得b=0,即f(x)= (x≠0),求導(dǎo)數(shù),求單調(diào)區(qū)間.(2)設(shè)g(x)= = ,(x>0),g′(x)= ,利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間,即可求最值.(3)方程f(x)﹣mx=0(m∈R且m為常數(shù))m= =g(x) 利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,2)上遞減,在(﹣∞,0),(2,+∞)遞增.畫(huà)出圖象,結(jié)合圖象求解,
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本,需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.(﹣∞, )∪(1,2)
B.(﹣1,1)∪(1,3)
C.(﹣1, )∪(3,+∞)
D.(﹣∞,﹣1)∪(3,+∞)

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