Question

已知命題p：“函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)P（a、b）成中心對稱圖形”的充要條件為“函數(shù)y=f（x+a）-b是奇函數(shù)”．
（1）試判斷命題p的真假？并說明理由；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=x³-3x²，求函數(shù)g（x）圖象對稱中心的坐標(biāo)；
（3）試判斷“存在實(shí)數(shù)a和b，使得函數(shù)y=f（x+a）-b是偶函數(shù)”是“函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于某直線成軸對稱圖象”成立的什么條件？請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)對稱性和奇偶性的定義即可判斷命題p的真假；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，即可求函數(shù)g（x）圖象對稱中心的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義以及充分條件和必要條件的關(guān)系即可進(jìn)行判斷．

解答： 解：（1）命題p為真命題；
充分性：若y=f（x+a）-b為奇函數(shù)，則f（a-x）-b=-f（a+x）+b
即f（a-x）+f（a+x）=2b
設(shè)M（x，y）為f（x）圖象上任一點(diǎn)，則M關(guān)于（a，b）的對稱點(diǎn)為N（2a-x，2b-y），
∵f（2a-x）=f（a+（a-x））=2b-f（a-（a-x）），
∴N在y=f（x）圖象上，即f（x）的圖象上，即f（x）的圖象關(guān)于（a，b）對稱
必要性：若y=f（x）的圖象關(guān)于（a，b）
設(shè)M（x，y）為f（x）圖象上任一點(diǎn)，則由上知：f（2a-x）=2b-f（x）
令x取x+a，則f（a-x）+f（a+x）=2b
即f（-x+a）-b=-f（a+x）+b∴y=f（x+a）-b為奇函數(shù)
綜上命題為真．
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=g（x+a）-b為奇函數(shù)，
則f（x）=（x+a）³-3（x+a）²-b=x³+（3a-3）x²+（3a²-6a）x+a³-3a²-b
∵f（x）=g（x+a）-b為奇函數(shù)，則

3a-3=0 a3-3a2-b=0

，即

a=1 b=-2

由命題p為真命題，則函數(shù)g（x）=x³-3x²的圖象對稱中心為（1，-2），
（3）若存在實(shí)數(shù)a和b，使得函數(shù)y=f（x+a）-b是偶函數(shù)，則可以通過上下平移和左右平移，即可得到
y=f（x）的圖象，此時“函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于某直線成軸對稱圖象”成立，
若函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y=x成軸對稱圖象，則無論怎么平移都無法平移到關(guān)于y軸對稱，即必要性不成立，
故“存在實(shí)數(shù)a和b，使得函數(shù)y=f（x+a）-b是偶函數(shù)”是“函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于某直線成軸對稱圖象”成立的充分不必要條件條件．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和對稱性是應(yīng)用，以及命題的真假判斷，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．