Question

已知函數(shù)f（x）=2sinx+2

3

cosx，（x∈R）
①求函數(shù)f（x）的最大值和最小值；
②求f（x）的單調(diào)遞區(qū)間．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用兩角和公式對函數(shù)解析式化簡整理，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最大和最小值．
（2）利用（1）的函數(shù)解析式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)和圖象求得函數(shù)的單調(diào)增和單調(diào)減區(qū)間．

解答： 解：（1）f（x）=2sinx+2

3

cosx=4（

1

2

sinx+

3

2

cosx）=4sin（x+

π

3

），
∵1≤sin（x+

π

3

）≤1
∴-4≤4sin（x+

π

3

）≤4
即函數(shù)f（x）的最大值為4，最小值為-4
（2）當2kπ-

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

π

2

時，即2kπ-

5π

6

≤x≤2kπ+

π

6

時，k∈Z，
函數(shù)單調(diào)增，
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[2kπ-

5π

6

，2kπ+

π

6

]（k∈Z），
當2kπ+

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

時，即2kπ+

π

6

≤x≤2kπ+

7π

6

時，k∈Z，函數(shù)單調(diào)減，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[2kπ+

π

6

，2kπ+

7π

6

]（．k∈Z）．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．在解決三角函數(shù)問題時，常與三角函數(shù)圖象結(jié)合，利用數(shù)形結(jié)合的方法來解決問．