Question

（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù).

（1）若函數(shù)在處有極值，求函數(shù)的最大值；

（2）①是否存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的不等式在上恒成立？若存在，求出 的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由；

②證明：不等式.

 

Answer 1

（1）最大值為；（2）①存在，的取值范圍是；②祥見(jiàn)解析．

【解析】

試題分析：（1）由已知得：，且函數(shù)f（x）在x=0處有極值，得a=1，從而求出函數(shù)的表達(dá)式，找出單調(diào)區(qū)間求出最值；

（2）由已知得：再對(duì)b分情況討論：①若b≥1，②若b≤0，③若0＜b＜1綜合得出b的取值范圍是x∈[1，+∞）；

（3）由前兩問(wèn)綜合得出．

試題解析：（1）由已知得：，且函數(shù)在處有極值

∴，即

∴ ∴,

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

∴函數(shù)的最大值為

（2）①由已知得：

（i）若，則時(shí)，

∴在上為減函數(shù)，

∴在上恒成立；

（ii）若，則時(shí)，

∴在上為增函數(shù)，

∴，不能使在上恒成立；----6分

（iii）若，則時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，∴在上為增函數(shù)，

此時(shí)，

∴不能使在上恒成立；

綜上所述，的取值范圍是

②由以上得：,取得：

令，

則，.

因此；即：.

又

故

 

綜上所述：不等式成立

考點(diǎn)：1. 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2. 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．