【題目】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若動(dòng)點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)到橢圓的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)的軌跡方程.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）利用題中條件求出的值，然后根據(jù)離心率求出的值，最后根據(jù)、、三者的關(guān)系求出的值，從而確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分兩種情況進(jìn)行計(jì)算：第一種是在從點(diǎn)所引的兩條切線的斜率都存在的前提下，設(shè)兩條切線的斜率分別為、，并由兩條切線的垂直關(guān)系得到，并設(shè)從點(diǎn)所引的直線方程為，將此直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立得到關(guān)于的一元二次方程，利用得到有關(guān)的一元二次方程，最后利用以及韋達(dá)定理得到點(diǎn)的軌跡方程；第二種情況是兩條切線與坐標(biāo)軸垂直的情況下求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并驗(yàn)證點(diǎn)是否在第一種情況下所得到的軌跡上，從而得到點(diǎn)的軌跡方程.

試題解析：（1）由題意知，且有，即，解得，

因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）①設(shè)從點(diǎn)所引的直線的方程為，即，

當(dāng)從點(diǎn)所引的橢圓的兩條切線的斜率都存在時(shí)，分別設(shè)為、，則，

將直線的方程代入橢圓的方程并化簡(jiǎn)得，

，

化簡(jiǎn)得，即，

則、是關(guān)于的一元二次方程的兩根，則，

化簡(jiǎn)得；

②當(dāng)從點(diǎn)所引的兩條切線均與坐標(biāo)軸垂直，則的坐標(biāo)為，此時(shí)點(diǎn)也在圓上.

綜上所述，點(diǎn)的軌跡方程為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】通過(guò)隨機(jī)詢(xún)問(wèn)72名不同性別的大學(xué)生在購(gòu)買(mǎi)食物時(shí)是否看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明，得到如下列聯(lián)表：

男

女

總計(jì)

讀營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明

16

28

44

不讀營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明

20

8

28

總計(jì)

36

36

72

(1)根據(jù)以上列聯(lián)表判斷，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為性別和是否看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明有關(guān)系呢？

(2)從被詢(xún)問(wèn)的28名不讀營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明的大學(xué)生中，隨機(jī)抽取2名學(xué)生，求抽到女生人數(shù)

的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附：

0.010

0.005

0.001

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率低于，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：

907 966 191 925 271 932 812 458 569 683

431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)集合A={（x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， x5）|xi∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中滿(mǎn)足條件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素個(gè)數(shù)為（ ）
A.60
B.90
C.120
D.130

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，四邊形ABCD為正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于點(diǎn)F，F(xiàn)E∥CD，交PD于點(diǎn)E．

（1）證明：CF⊥平面ADF；
（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=（c為常數(shù)），且f（1）=0．

（1）求c的值；

（2）證明函數(shù)f（x）在[0，2]上是單調(diào)遞增函數(shù)；

（3）已知函數(shù)g（x）=f（ex），判斷函數(shù)g（x）的奇偶性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】下列結(jié)論中:

①定義在R上的函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0]上是增函數(shù),在區(qū)間[0,+∞)上也是增函數(shù),則函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù);②若f(2)=f(-2),則函數(shù)f(x)不是奇函數(shù);③函數(shù)y=x-0.5是(0,1)上的減函數(shù);④對(duì)應(yīng)法則和值域相同的函數(shù)的定義域也相同;⑤若x0是二次函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn),且m<x0<n,那么f(m)f(n)<0一定成立.

寫(xiě)出上述所有正確結(jié)論的序號(hào):_____.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面四邊形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，將△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如圖．

（1）求證：AB⊥CD；
（2）若M為AD中點(diǎn)，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】甲與乙午覺(jué)醒來(lái)后，發(fā)現(xiàn)自己的手表因故停止轉(zhuǎn)動(dòng)，于是他們想借助收音機(jī)，利用電臺(tái)整點(diǎn)報(bào)時(shí)確認(rèn)時(shí)間．

(1)求甲等待的時(shí)間不多于10分鐘的概率；

(2)求甲比乙多等待10分鐘以上的概率．

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同步練習(xí)冊(cè)答案