【題目】在平面四邊形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD,將△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如圖.
(1)求證:AB⊥CD;
(2)若M為AD中點,求直線AD與平面MBC所成角的正弦值.
【答案】
(1)證明:∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB平面ABD,AB⊥BD,
∴AB⊥平面BCD,又CD平面BCD,∴AB⊥CD
(2)解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
∵AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD,
∴B(0,0,0),C(1,1,0),A(0,0,1),D(0,1,0),M .
∴ =(0,1,﹣1), =(1,1,0), = .
設(shè)平面BCM的法向量 =(x,y,z),則 ,
令y=﹣1,則x=1,z=1.
∴ =(1,﹣1,1).
設(shè)直線AD與平面MBC所成角為θ.
則sinθ=|cos |= = = .
【解析】(1)利用面面垂直的性質(zhì)定理即可得出;(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)直線AD與平面MBC所成角為θ,利用線面角的計算公式sinθ=|cos |= 即可得出.
【考點精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識點,需要掌握相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個公共點;平行直線:同一平面內(nèi),沒有公共點;異面直線: 不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點;已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點,所成的角為,則才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)校計劃在全國中學(xué)生田徑比賽期間,安排6位志愿者到4個比賽場地提供服務(wù),要求甲、乙兩個比賽場地各安排一個人,剩下兩個比賽場地各安排兩個人,其中的小李和小王不在一起,不同的安排方案共有( )
A. 168種 B. 156種 C. 172種 D. 180種
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的一個焦點為,離心率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若動點為橢圓外一點,且點到橢圓的兩條切線相互垂直,求點的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了研究高中學(xué)生對鄉(xiāng)村音樂的態(tài)度(喜歡和不喜歡兩種態(tài)度)與性別的關(guān)系,運用2×2列聯(lián)表進行獨立性檢驗,經(jīng)計算K2=8.01,附表如下:
P(K2≥k0) | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
參照附表,得到的正確的結(jié)論是( 。
A. 有99%以上的把握認(rèn)為“喜歡鄉(xiāng)村音樂與性別有關(guān)”
B. 有99%以上的把握認(rèn)為“喜歡鄉(xiāng)村音樂與性別無關(guān)”
C. 在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認(rèn)為“喜歡鄉(xiāng)村音樂與性別有關(guān)”
D. 在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認(rèn)為“喜歡鄉(xiāng)村音樂與性別無關(guān)”
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,有兩條相交成60°角的直線,交點為.甲、乙分別在上,起初甲離點,乙離點,后來甲沿的方向,乙沿的方向,同時以的速度步行.求:
(1)起初兩人的距離是多少?
(2)后兩人的距離是多少?
(3)什么時候兩人的距離最短?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶7次,每次命中的環(huán)數(shù)如下:
甲 7 8 10 9 8 8 6 乙 9 10 7 8 7 7 8
則下列判斷正確的是( )
A. 甲射擊的平均成績比乙好 B. 甲射擊的成績的眾數(shù)小于乙射擊的成績的眾數(shù)
C. 乙射擊的平均成績比甲好 D. 甲射擊的成績的極差大于乙射擊的成績的極差
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一位數(shù)學(xué)老師在黑板上寫了三個向量,,,其中,都是給定的整數(shù).老師問三位學(xué)生這三個向量的關(guān)系,甲回答:“與平行,且與垂直”,乙回答:“與平行”,丙回答:“與不垂直也不平行”,最后老師發(fā)現(xiàn)只有一位學(xué)生判斷正確,由此猜測,的值不可能為( )
A. , B. , C. , D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司為了解廣告投入對銷售收益的影響,在若干地區(qū)各投入萬元廣告費用,并將各地的銷售收益(單位:萬元)繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.由于工作人員操作失誤,橫軸的數(shù)據(jù)丟失,但可以確定橫軸是從開始計數(shù)的.
廣告投入/萬元 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
銷售收益/萬元 | 2 | 3 | 2 | 5 | 7 |
(Ⅰ)根據(jù)頻率分布直方圖計算圖中各小長方形的寬度;
(Ⅱ)該公司按照類似的研究方法,測得另外一些數(shù)據(jù),并整理得到上表:
表中的數(shù)據(jù)顯示與之間存在線性相關(guān)關(guān)系,求關(guān)于的回歸方程;
(Ⅲ)若廣告投入萬元時,實際銷售收益為萬元,求殘差.
附:,
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