Question

【題目】定義在實數(shù)集上的可導函數(shù)是偶函數(shù)，若對任意實數(shù)都有恒成立，則使關于的不等式成立的數(shù)的取值范圍為（ ）

A.B.(-1，1)C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據(jù)已知構(gòu)造合適的函數(shù)，對函數(shù)求導，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的取值范圍，并根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)的對稱性，求出x＜0的取值范圍．

解：當x＞0時，由可知：兩邊同乘以2x得：

2xf（x）+x2f′（x）﹣2x＜0；

設：g（x）＝x2f（x）﹣x2，

則g′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）﹣2x＜0恒成立；

∴g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，

由x2f（x）﹣f（1）＞x2﹣1；

∴x2f（x）﹣x2＞f（1）﹣1；

即g（x）＞g（1），

即0＜x＜1；

由于函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，∴g（﹣x）＝（﹣x）2f（﹣x）﹣（﹣x）2＝x2f（x）﹣x2＝g（x）；

所以g（x）＝x2f（x）﹣x2也是偶函數(shù)；

當x＜0時，同理得：﹣1＜x＜0．

綜上可知：實數(shù)x的取值范圍為：（﹣1，0）∪（0，1）．

故選：C．