【題目】設函數(shù).
(1)若函數(shù)在處有極值,求函數(shù)的最大值;
(2)①是否存在實數(shù),使得關于的不等式在上恒成立?若存在,求出的取值范圍;若不存在,說明理由;
②證明:不等式
【答案】(1)最大值為;(2)①的取值范圍是;②證明見解析.
【解析】
試題分析:(1)由在處有極值得,從而求得,然后由正負,研究的單調(diào)性,得極值,最值;(2)①這類問題,可假設存在,不等式在上恒成立,考慮到,因此最好有時,,則恒成立結論為真,由此研究單調(diào)性,求導,注意到,因此分類, ,分別研究的正負,得的單調(diào)性,可得結論;②要證明此不等式,可能需要用到上面函數(shù)的結論,由上面的推理,取得不等式:,令,則,因此只要證得是遞減數(shù)列,不等式的右邊就證得,為此作差,
不等式的左邊,由,則有.這里用到了不等式的放縮法.
試題解析:(1)由已知得:,且函數(shù)在處有極值
,當時,單調(diào)遞增
當時,單調(diào)遞減
所以函數(shù)的最大值為
(2)①由已知得:
()若,則時,
所以在上為減函數(shù)
在上恒成立;
()若,則時,
所以在上為增函數(shù)
,不能使在上恒成立;
()若,則時,
當時,
所以在上為增函數(shù),
此時
所以不能使在上恒成立
綜上所述,的取值范圍是
②由以上得:
取得:,令
則
因此
又
故
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標準分成個等級,等級系數(shù)依次,其中為標準,為標準.已知甲廠執(zhí)行標準生產(chǎn)該產(chǎn)品,產(chǎn)品的零售價為元/件;乙廠執(zhí)行標準生產(chǎn)該產(chǎn)品,產(chǎn)品的零售價為元/件,假定甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應的執(zhí)行標準.
(1)已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的概率分布如下所示:
且的數(shù)學期望,求的值;
(2)為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù),從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取件,相應的等級系數(shù)組成一個樣本,數(shù)據(jù)如下:
用這個樣本的頻率分布估計總體分布,將頻率視為概率,求等級系數(shù)的數(shù)學期望;
(3)在(1)、(2)的條件下,若以“性價比”為判斷標準,則哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性?說明理由.注:①產(chǎn)品的“性價比”;
②“性價比”大的產(chǎn)品更具可購買性.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況,隨機抽取了100名觀眾進行調(diào)查,下面是根據(jù)調(diào)查結果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方
圖:
將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”.
(Ⅰ)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此資料,在犯錯誤的概率不超過的前提下,你是否有理由認為“體育迷”與性別有關?
非體育迷 | 體育迷 | 合計 | |
男 | |||
女 | 10 | 55 | |
合計 |
(Ⅱ)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率,現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中,采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾,抽取3次,記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為.若每次抽取的結果是相互獨立的,求的分布列,期望和方差.
附:
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),若曲線在點處的切線與直線垂直.
(1)求的值;
(2)函數(shù)恰有兩個零點,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了了解某校學生喜歡吃辣是否與性別有關,隨機對此校100人進行調(diào)查,得到如下的列表:已知在全部100人中隨機抽取1人抽到喜歡吃辣的學生的概率為.
喜歡吃辣 | 不喜歡吃辣 | 合計 | |
男生 | 10 | ||
女生 | 20 | ||
合計 | 100 |
(1)請將上面的列表補充完整;
(2)是否有99.9%以上的把握認為喜歡吃辣與性別有關?說明理由:
下面的臨界值表供參考:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式:,其中)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知定圓,定直線,過的一條動直線與直線相交于,與圓相交于,兩點,是中點.
(Ⅰ)當與垂直時,求證:過圓心;
(Ⅱ)當時,求直線的方程;
(Ⅲ)設,試問是否為定值,若為定值,請求出的值;若不為定值,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)若函數(shù)在上不具有單調(diào)性,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)若,
①求實數(shù)a的值;
②設,,,當時,試比較的大小.
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