Question

【題目】某企業(yè)為確定下一年投入某種產(chǎn)品的研發(fā)費(fèi)用，需了解年研發(fā)費(fèi)用（單位：千萬元）對年銷售量（單位：千萬件）的影響，統(tǒng)計了近年投入的年研發(fā)費(fèi)用與年銷售量的數(shù)據(jù)，得到散點(diǎn)圖如圖所示：

（Ⅰ）利用散點(diǎn)圖判斷，和（其中，為大于的常數(shù)）哪一個更適合作為年研發(fā)費(fèi)用和年銷售量的回歸方程類型（只要給出判斷即可，不必說明理由）；

（Ⅱ）對數(shù)據(jù)作出如下處理：令，，得到相關(guān)統(tǒng)計量的值如下表：

根據(jù)（Ⅰ）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求關(guān)于的回歸方程；

（Ⅲ）已知企業(yè)年利潤（單位：千萬元）與，的關(guān)系為（其中），根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果，要使得該企業(yè)下一年的年利潤最大，預(yù)計下一年應(yīng)投入多少研發(fā)費(fèi)用？

附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，

Answer 1

【答案】（Ⅰ）由散點(diǎn)圖知，選擇回歸類型更適合；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）要使年利潤取最大值，預(yù)計下一年度投入27千萬元.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)散點(diǎn)圖的特點(diǎn)可知，相關(guān)關(guān)系更接近于冪函數(shù)類型；

（Ⅱ）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，代入公式求得回歸直線的方程；

（Ⅲ）先求出年利潤的表達(dá)式，結(jié)合不等式特點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)可得最值.

（Ⅰ）由散點(diǎn)圖知，選擇回歸類型更適合．

（Ⅱ）對兩邊取對數(shù)，得，即

由表中數(shù)據(jù)得：，

∴，

∴，

∴年研發(fā)費(fèi)用與年銷售量的回歸方程為.

(Ⅲ)由（Ⅱ）知，，

∴，

令，得，

且當(dāng)時，,單調(diào)遞增；

當(dāng)時，,單調(diào)遞減．

所以當(dāng)千萬元時，年利潤取得最大值，且最大值為千萬元.

答：要使年利潤取最大值，預(yù)計下一年度投入27千萬元.