精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

【題目】已知過拋物線的焦點，斜率為的直線交拋物線于 兩點，且.

（1）求該拋物線的方程；

（2）過點任意作互相垂直的兩條直線，分別交曲線于點和.設線段的中點分別為，求證：直線恒過一個定點.

【答案】（1）（2見解析

【解析】試題分析： 聯立直線方程和拋物線方程，利用弦長公式列方程解出，即可得到拋物線的方程；

設直線的方程，聯立拋物線方程得兩根之和，計算點的坐標，同理可得點的坐標，運用直線點斜式給出直線方程，討論斜率問題即可得出定點

解析：（1）拋物線的焦點，∴直線的方程為：

聯立方程組，消元得： ，

∴

∴，解得.

∵，∴拋物線的方程為： .

（2）設兩點坐標分別為，則點的坐標為..

由題意可設直線的方程為.

由，得.

因為直線與曲線于兩點，所以.

所以點的坐標為.

由題知，直線的斜率為，同理可得點的坐標為.

當時，有，此時直線的斜率.

所以，直線的方程為，整理得.

于是，直線恒過定點；

當時，直線的方程為，也過點.

綜上所述，直線恒過定點.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數 的部分圖象如圖所示，分別是圖象的最低點和最高點，.

（1）求函數的解析式；

（2）將函數的圖象向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到函數的圖象，求函數的單調遞增區(qū)間.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，且，其中.

（1）求的值；

（2）求函數的單調增區(qū)間．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知集合A={x2|x2+2x-3<0},B=.

(1)在區(qū)間(-4,4)上任取一個實數x,求“x∈A∩B”的概率;

(2)設(a,b)為有序實數對,其中a是從集合A中任取的一個整數,b是從集合B中任取的一個整數,求“b-a∈A∪B”的概率.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某學校團委組織了“文明出行，愛我中華”的知識競賽，從參加考試的學生中抽出60名學生，將其成績（單位：分）整理后，得到如下頻率分布直方圖（其中分組區(qū)間為，，…，）.

（1）求成績在的頻率，并補全此頻率分布直方圖；

（2）求這次考試平均分的估計值；

（3）若從成績在和的學生中任選兩人，求他們的成績在同一分組區(qū)間的概率.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖1，在路邊安裝路燈，路寬為，燈柱長為米，燈桿長為1米，且燈桿與燈柱成角，路燈采用圓錐形燈罩，其軸截面的頂角為，燈罩軸線與燈桿垂直．

⑴設燈罩軸線與路面的交點為，若米，求燈柱長；

⑵設米，若燈罩截面的兩條母線所在直線一條恰好經過點，另一條與地面的交點為（如圖2）

（圖1） （圖2）

（�。┣�的值；（ⅱ）求該路燈照在路面上的寬度的長．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】若點P是直線2x＋y＋10＝0上的動點，直線PA、PB分別與圓x2＋y2＝4相切于A、B兩點，則四邊形PAOB(O為坐標原點)面積的最小值為________．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設集合A={x|x2+2x﹣3＜0}，集合B={x||x+a|＜1}．
（1）若a=3，求A∪B；
（2）設命題p：x∈A，命題q：x∈B，若p是q成立的必要不充分條件，求實數a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，四邊形是等腰梯形， ， ， ，在梯形中， ，且， 平面.

（1）求證：面面；

（2）若二面角的大小為，求幾何體的體積.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案