Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求證:函數(shù)在上為增函數(shù);

（2）當(dāng)時,若恒成立,求實數(shù)的取值范圍;

（3）設(shè),試討論函數(shù)的零點情況.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析（2）（3）答案見解析

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明,即可求得答案;

（2）設(shè),當(dāng)時,恒成立,得到關(guān)于的不等式組,即可求得答案;

（3）求出的值域,問題轉(zhuǎn)化為求方程的實數(shù)根,令,得到方程,求出的值,通過討論的范圍,即可求得答案．

（1）設(shè) 是上的任意兩個數(shù),且,則

則

,

即

在上遞增；

（2）,即

設(shè)

即當(dāng)時,恒成立,

,

解得:

實數(shù)的范圍是

（3）

x＞0,則

,

即,

當(dāng)時,由（1）得遞增,遞增,

遞增,

g(x)的值域是,

的大致圖象如圖示:

,

函數(shù)的零點

方程的實數(shù)根,

令,即

解得:或,

時,滿足條件的實數(shù)根有且只有一個,

,

當(dāng),即時,函數(shù)有個零點,

當(dāng),即時,函數(shù)只有個零點,

當(dāng) ,即時,函數(shù)F(x)有個零點,

綜上所述,時,函數(shù)只有個零點,

時,函數(shù)有個零點,

時,函數(shù)有個零點．