【題目】如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB= ,AF=1,M是線段EF的中點.
(1)求證AM∥平面BDE;
(2)求二面角A﹣DF﹣B的大;
(3)試在線段AC上一點P,使得PF與CD所成的角是60°.
【答案】
(1)證明:建立如圖所示的空間直角坐標系
設AC∩BD=N,連接NE,
則點N、E的坐標分別是 、(0,0,1),
∴ = ,
又點A、M的坐標分別是
、
∴ =
∴ = 且NE與AM不共線,
∴NE∥AM
又∵NE平面BDE,AM平面BDE,
∴AM∥平面BDF
(2)解:∵AF⊥AB,AB⊥AD,AF∩AD=A,
∴AB⊥平面ADF
∴ 為平面DAF的法向量
∵ = =0,
∴ = =0得 , ∴NE為平面BDF的法向量
∴cos< >=
∴ 的夾角是60°
即所求二面角A﹣DF﹣B的大小是60°
(3)解:設P(x,x,0), , ,則
cos =| |,解得 或 (舍去)
所以當點P為線段AC的中點時,直線PF與CD所成的角為60°
【解析】(I)以C為坐標原點,建立空間直角坐標系,求出各點的坐標,進而求出直線AM的方向向量及平面BDE的法向量,易得這兩個向量垂直,即AM∥平面BDE;(2)求出平面ADF與平面BDF的法向量,利用向量夾角公式求出夾角,即可得到二面角A﹣DF﹣B的大小;(3)點P為線段AC的中點時,直線PF與CD所成的角為60°,我們設出點P的坐標,并由此求出直線PF與CD的方向向量,再根據PF與CD所成的角是60°構造方程組,解方程即可得到結論.
【考點精析】根據題目的已知條件,利用向量語言表述線線的垂直、平行關系和用空間向量求直線間的夾角、距離的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握設直線的方向向量分別是,則要證明∥,只需證明∥,即;則要證明,只需證明,即;已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點,所成的角為,則.
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【題目】某班從6名班干部(其中男生4人,女生2人)中選3人參加學校學生會的干部
競選.
(Ⅰ)設所選3人中女生人數為,求的分布列及數學期望;
(Ⅱ)在男生甲被選中的情況下,求女生乙也被選中的概率.
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【題目】某校高三課外興趣小組為了解高三同學高考結束后是否打算觀看2018年足球世界杯比賽的情況,從全校高三年級1500名男生、1000名女生中按分層抽樣的方式抽取125名學生進行問卷調查,情況如下表:
打算觀看 | 不打算觀看 | |
女生 | 20 | b |
男生 | c | 25 |
(1)求出表中數據b,c;
(2)判斷是否有99%的把握認為觀看2018年足球世界杯比賽與性別有關;
(3)為了計算“從10人中選出9人參加比賽”的情況有多少種,我們可以發(fā)現(xiàn)它與“從10人中選出1人不參加比賽”的情況有多少種是一致的.現(xiàn)有問題:在打算觀看2018年足球世界杯比賽的同學中有5名男生、2名女生來自高三(5)班,從中推選5人接受校園電視臺采訪,請根據上述方法,求被推選出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率.
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【題目】如圖所示,在四棱錐P﹣ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=AD=AP=2CD=2,M是棱PB上一點.
(Ⅰ)若BM=2MP,求證:PD∥平面MAC;
(Ⅱ)若平面PAB⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面ABCD,求證:PA⊥平面ABCD;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,若二面角B﹣AC﹣M的余弦值為 ,求 的值.
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【題目】設函數f(x)在R上存在導數f′(x),對任意的x∈R,有f(﹣x)+f(x)=x2 , 且x∈(0,+∞)時,f′(x)>x.若f(2﹣a)﹣f(a)≥2﹣2a,則實數a的取值范圍為( )
A.[1,+∞)
B.(﹣∞,1]
C.(﹣∞,2]
D.[2,+∞)
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【題目】已知等差數列{an}的公差d≠0,且a1 , a3 , a13成等比數列,若a1=1,Sn是數列{an}前n項的和,則 (n∈N+)的最小值為( )
A.4
B.3
C.2 ﹣2
D.
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【題目】設f(x)=sin( x﹣ )﹣2cos2 x+1.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若函數y=f(x)與y=g(x)的圖象關于直線x=1對稱,求當x∈[0, ]時,y=g(x)的最大值.
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【題目】給出以下四個命題:
①若ab≤0,則a≤0或b≤0;②若a>b,則am2>bm2;③在△ABC中,若sinA=sinB,則A=B;④在一元二次方程ax2+bx+c=0中,若b2-4ac<0,則方程有實數根.其中原命題、逆命題、否命題、逆否命題全都是真命題的是( )
A. ① B. ② C. ③ D. ④
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【題目】已知m、n∈R+ , f(x)=|x+m|+|2x﹣n|.
(1)求f(x)的最小值;
(2)若f(x)的最小值為2,證明:4(m2+ )的最小值為8.
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